文章目录 三角函数的周期性 本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用 三角函数的周期性 本节的主题是研究三角函数的周期性，我们之前已经解析地定义三角函数为 cos ⁡ x ∑ k 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! , sin ⁡ x ∑ k 0 ∞ ( − 1 )…

文章目录 三角函数的周期性 本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用 三角函数的周期性 本节的主题是研究三角函数的周期性，我们之前已经解析地定义三角函数为 cos ⁡ x ∑ k 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! , sin ⁡ x ∑ k 0 ∞ ( − 1 )…

文章目录 中值定理、反函数定理 本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用 中值定理、反函数定理 定理：Rolle（罗尔）中值定理 设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微&…

3. 函数极限与连续函数 3.2 连续函数 【例3,2,4】证明 f ( x ) a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) f(x)a^{x}(a>0,a\ne 1) f(x)ax(a>0,a1)在 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) (−∞,∞)上连续。 【证】 ∀ x 0 ∈ ( − ∞ , ∞ ) \forall x_{0}\in(-\infty,\infty) ∀x0…

数列与极限 幂级数 定义 3.38 设有复数序列 { c n } \left\{ c_{n} \right\} {cn​}，级数 ∑ n 0 ∞ c n z n \sum_{n0}^{\infty} c_{n} z^n n0∑∞​cn​zn 叫做幂级数(power series)。 c n c_{n} cn​叫做这级数的系数(coefficients)； z z z是复数…

文章目录 有理数和无理数的问题有理数和无理数的区别与联系区别联系例题1：识别有理数和无理数例题2：有理数和无理数的运算例题3：有理数和无理数的应用 有理数和无理数的计算有理数的计算公式无理数的计算公式注意事项 根号运算规则1. 定义与性…

4. 微分 4.3 导数四则运算与反函数求导法则 双曲正弦函数 sh ⁡ x e x − e − x 2 \sh x\frac{e^x-e^{-x}}{2} shx2ex−e−x​ 双曲余弦函数 ch ⁡ x e x e − x 2 \ch x\frac{e^xe^{-x}}{2} chx2exe−x​ ch ⁡ 2 x − sh ⁡ 2 x 1 \ch^2 x-\sh^2 x1 ch2x−sh2x1 ( e…

3. 函数极限与连续函数 3.1 函数极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) A : \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)A: x→x0​lim​f(x)A:对任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0&#xff0c;可以找到 δ > 0 \delta>0 δ>0&#xff0c;当 x x x满足 0 < ∣ x − x 0 ∣…

3. 函数极限与连续函数 3.2 连续函数 3.2.10 复合函数的连续性 【例3.2.11】证明&#xff1a;对任意实数 α \alpha α&#xff0c; f ( x ) x α f(x)x^{\alpha} f(x)xα在 ( 0 , ∞ ) (0,\infty) (0,∞)上连续。 【证】 f ( x ) x α e α ln ⁡ x f(x)x^{\alpha}e^{\…

4. 微分 4.3 导数四则运算与反函数求导法则 通过例题&#xff0c;计算常用的基本初等函数的导数 【例4.3.1】 y sin ⁡ x y\sin x ysinx 【解】 y ′ ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ ( x Δ x ) − sin ⁡ x Δ x lim ⁡ Δ x → 0 2 cos ⁡ 2 x Δ x 2 sin ⁡ Δ x 2 Δ…

文章目录 洛必达法则Taylor展开公式 本篇文章适合个人复习翻阅&#xff0c;不建议新手入门使用 洛必达法则 命题&#xff1a;L’Hopital&#xff08;洛必达&#xff09;法则 设 f , g f,g f,g 是区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上的实值可微函数&#xff0c;假设 f ( x ) , g …

文章目录 三角函数的周期性 本篇文章适合个人复习翻阅&#xff0c;不建议新手入门使用 三角函数的周期性 本节的主题是研究三角函数的周期性&#xff0c;我们之前已经解析地定义三角函数为 cos ⁡ x ∑ k 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! , sin ⁡ x ∑ k 0 ∞ ( − 1 )…

2. 数列极限 2.4 收敛准则 2.4.7 Cauchy&#xff08;柯西&#xff09;收敛原理 单调有界数列收敛定理是一个充分性定理&#xff0c;有界数列如果不单调&#xff0c;不一定不收敛。接下来要找一个充分且必要的定理&#xff0c;即Cauchy收敛原理。 【定义2.4.3】 { x n } \{x_…

4. 微分 4.4 复合函数求导法则及其应用 【例4.4.3】 y e 1 cos ⁡ x ye^{\sqrt{1\cos x}} ye1cosx ​&#xff0c;求 y ′ y y′ 【解】 y ′ e 1 cos ⁡ x ⋅ 1 2 1 cos ⁡ x ⋅ ( − sin ⁡ x ) − sin ⁡ x 2 1 cos ⁡ x e 1 cos ⁡ x ye^{\sqrt{1\cos x}}\cdot\f…

2. 数列极限 2.2 数列极限 【例2.2.3】证明 lim ⁡ n → ∞ a n 1 ( a > 1 ) \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}1(a>1) n→∞lim​na ​1(a>1) 【证】对任意给定的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0&#xff0c;令 a n − 1 y n > 0 ( a > 1 ) \sqrt…

3. 函数极限与连续函数 3.1 函数极限 【例3.1.12】 f ( x ) a n x n a n − 1 x n − 1 ⋯ a k x k b m x m b m − 1 x m − 1 ⋯ b j x j , b m , b j ≠ 0 , a n , a k ≠ 0 f(x) \frac{a_{n} x^{n}a_{n-1} x^{n-1}\cdotsa_{k} x^{k}}{b_{m} x^{m}b_{m-1} x^{m-1}\…