本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

中值定理、反函数定理

定理：Rolle（罗尔）中值定理
设实值函数 $f\in C^0[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 上可微，若 $f(a)=f(b)$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(x_0)=0$

证明
设 $f$ 非常值函数，设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的最大值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$

定理：Lagrange（拉格朗日）中值定理
设实值函数 $f\in C^0[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 上可微，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $$f^{\prime }(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

证明思路
构造辅助函数 $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 以及Rolle中值定理可得

定理：Cauchy中值定理
设实值函数 $f,g\in C^0[a,b]$，且 $f,g$ 在 $(a,b)$ 上均可微，设对任意的 $x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得
$$\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

证明思路
法1：构造辅助函数 $$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$$

注意到 $F(a)=F(b)=0$，使用Rolle中值定理即得

法2：由 $g^{\prime }(x)\ne 0$，故 $g:I=[a,b]\to J=[g(a),g(b)]$ 是同胚，
考虑映射 $f\circ g^{-1}:J\to Y$，存在 $c\in J$，使得
$$\frac{f\circ g^{-1}(g(a))-f\circ g^{-1}(g(b))}{g(a)-g(b)}=(f\circ g^{-1}{)}^{\prime }(c)$$

注：Cauchy中值定理的几何直观
考虑如下的向量值函数 $$F:[a,b]\to \mathbb{R},x\mapsto \left(\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right)$$

Cauchy中值定理说的是存在曲线上一点 $x_0$，使得其切线方向 $F^{\prime }(x_0)$ 与两个端点的连线 $\left(\begin{array}{c}f(b)\\ g(b)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}f(a)\\ g(a)\end{array}\right)$ 是同方向的

也可以这么理解：考虑单位圆上的切线方向函数
$$\hat{F}:[a,b]\to S^1,x\mapsto \frac{(g^{\prime }(x),f^{\prime }(x))}{\sqrt{f^{\prime }(x{)}^2+g^{\prime }(x{)}^2}}$$

Cauchy中值定理说的是对单位圆上任意一点的切线方向，总可以找到圆上两点
$$(\frac{g(b)}{\sqrt{g(b{)}^2+f(b{)}^2}},\frac{f(b)}{\sqrt{g(b{)}^2+f(b{)}^2}})$$$$(\frac{g(a)}{\sqrt{g(a{)}^2+f(a{)}^2}},\frac{f(a)}{g(a{)}^2+f(a{)}^2})$$ 使得它们的连线方向与其相同

定理：反函数定理
设开区间 $I\subset \mathbb{R}$，$f\in C^1(I;\mathbb{R})$，即连续可微的实值函数，若 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$，那么 $f$ 在 $x_0$ 的一个邻域内是 $C^1$ 同胚，即 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内是有连续逆的双射

证明思路
不妨设 $f^{\prime }(x_0)>0$，则在 $x_0$ 附近 $f^{\prime }(x_0)>0$，则 $f$ 严格单调递增，则 $f^{-1}$ 存在且可微，又
$$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}$$ 说明 $f^{-1}$ 连续可微

推论
上述定理若进一步要求 $f$ 是光滑的（即无限次可微），则 $f^{-1}$ 也光滑

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著