4. 微分

4.3 导数四则运算与反函数求导法则

双曲正弦函数$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
双曲余弦函数$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$
$(e^{-x}{)}^{\prime }=(\frac{1}{e^x}{)}^{\prime }=-\frac{e^x}{e^{2x}}=-e^{-x}$
$(\mathrm{sh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}=\mathrm{ch}x)$
同理$(\mathrm{ch}x{)}^{\prime }=\mathrm{sh}x$
双曲正切函数$\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}$
双曲余切函数$\mathrm{cth}x=\frac{\mathrm{ch}x}{\mathrm{sh}x}$
$(\mathrm{th}x{)}^{\prime }=\frac{{\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x}{{\mathrm{ch}}^{2}x}=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}={\text{sech}}^{2}x$
同理$(\mathrm{cth}x{)}^{\prime }={\text{csch}}^{2}x$
$({\mathrm{sh}}^{-1}x)=\frac{1}{(\mathrm{sh}y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\mathrm{ch}y}=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
同理$({\mathrm{ch}}^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$({\mathrm{th}}^{-1}x{)}^{\prime }=({\mathrm{cth}}^{-1}x)=\frac{1}{1-x^2}$

4.3.3 基本初等函数的导数公式

$$\begin{array}{l}(C{)}^{\prime }=0\\ \mathrm{d}(C)=0\cdot \mathrm{d}x=0\\ {\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}\\ \mathrm{d}\left(x^{\alpha }\right)=\alpha x^{\alpha -1}\mathrm{d}x\\ (\sin x{)}^{\prime }=\cos x\\ \mathrm{d}(\sin x)=\cos x\mathrm{d}x\\ (\cos x{)}^{\prime }=-\sin x\\ \mathrm{d}(\cos x)=-\sin x\mathrm{d}x\\ (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x\\ \mathrm{d}(\tan x)={\sec }^{2}x\mathrm{d}x\\ (\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x\\ \mathrm{d}(\cot x)=-{\csc }^{2}x\mathrm{d}x\\ (\sec x{)}^{\prime }=\tan x\sec x\\ \mathrm{d}(\sec x)=\tan x\sec x\mathrm{d}x\\ (\csc x{)}^{\prime }=-\cot x\csc x\\ \mathrm{d}(\csc x)=-\cot x\csc x\mathrm{d}x\\ (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}\\ {\left(a^x\right)}^{\prime }=\ln a\cdot a^x\\ \text{ 特别地 }{\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x\\ {\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{x}\\ \text{ 特别地 }(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\\ (\mathrm{sh}x{)}^{\prime }=\mathrm{ch}x\\ (\mathrm{ch}x{)}^{\prime }=\mathrm{sh}x\\ (\text{ th }x{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}x\\ (\mathrm{cth}x{)}^{\prime }=-{\mathrm{csch}}^{2}x\\ {\left({\mathrm{sh}}^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ {\left({\mathrm{ch}}^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \mathrm{d}(\arctan x)=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\\ {\left({\mathrm{th}}^{-1}x\right)}^{\prime }={\left({\mathrm{cth}}^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}\\ \mathrm{d}(\mathrm{arccot}x)=-\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\\ \mathrm{d}\left(a^x\right)=\ln a\cdot a^x\mathrm{d}x\\ \text{ 特别地 }d\left(e^x\right)=e^{x}dx\\ \mathrm{d}\left({\log }_{a}x\right)=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \text{ 特别地 }\mathrm{d}(\ln x)=\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \mathrm{d}(\mathrm{sh}x)=\mathrm{ch}x\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}(\mathrm{ch}x)=\mathrm{sh}x\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}(\text{ th }x)={\mathrm{sech}}^{2}x\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}(\mathrm{cth}x)=-{\mathrm{csch}}^{2}x\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}\left({\mathrm{sh}}^{-1}x\right)=\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}}\\ \mathrm{d}\left({\mathrm{ch}}^{-1}x\right)=\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}}\\ \mathrm{d}\left({\mathrm{th}}^{-1}x\right)=\mathrm{d}\left({\mathrm{cth}}^{-1}x\right)=\frac{\mathrm{d}x}{1-x^2}\end{array}$$
【注】（1）${\left[\sum _{i=1}^n{c}_i{f}_i(x)\right]}^{\prime }=\sum _{i=1}^n{c}_i{f}^{\prime }{}_i(x)$，其中$c_i(i=1,2,\cdots ,n)$为常数；
（2）${\left[\prod _{i=1}^n{f}_i(x)\right]}^{\prime }=\sum _{j=1}^n\left\{f_j^{\prime }(x)\prod _{i=1,i\ne j}^n{f}_i(x)\right\}$（每一项是有一个因式的函数求导，其他不求导，然后相乘）


【例4.3.12】$y=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$，求$y^{\prime }$.
【解】$y^{\prime }=n{a}_n{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}+...+a_1$


【例4.3.13】$y=e^x(x^2+3x-1)\arcsin x$，求$y^{\prime }$.
【解】$y^{\prime }=e^x(x^2+3x-1)\arcsin x+e^x(2x+3)\arcsin x+e^x(x^2+3x-1)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=e^x((x^2+5x+2)\arcsin x+\frac{x^2+3x-1}{\sqrt{1-x^2}})$