3. 函数极限与连续函数

3.2 连续函数

【例3,2,4】证明$f(x)=a^x(a>0,a\ne 1)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续。
【证】$\forall x_0\in (-\infty ,+\infty )$
$\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^x=A\iff \underset{x\to x_0}{\lim }{a}^{x-x_0}=1\iff \underset{t\to 0}{\lim }{a}^t$
若$t\to 0^{+}$：
（1）若$a>1$，
由于$[\frac{1}{t}]\le \frac{1}{t}<[\frac{1}{t}]+1$，所以$\frac{1}{[\frac{1}{t}]+1}<\frac{1}{t}\le \frac{1}{[\frac{1}{t}]}$
$a^t=1<a^{\frac{1}{\frac{1}{t}}}\le a^{\frac{1}{[\frac{1}{t}]}}$
其中$[\frac{1}{t}]$相当于$n$，记为$n$，不等式右侧是数列极限
$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$，又$\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$
由极限的夹逼性可知，当$a>1$时，$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{a}^t=1$
（2）若$0<a<1$，$\frac{1}{a}>1$
$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{a}^t=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{(\frac{1}{a}{)}^t}$
若$t\to 0^{-}$：
令$u=-t$，则$u\to 0^{+}$
$\underset{t\to 0^{-}}{\lim }{a}^t=\underset{u\to 0^{+}}{\lim }{a}^{-u}=\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{a^u}=1$

3.2.6 连续函数的四则运算

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=g(x_0)$（即$f(x),g(x)$在$x_0$点处连续），有：
（1）$\underset{x\to x_0}{\lim }(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha f\left(x_0\right)+\beta g\left(x_0\right)$（$\alpha ,\beta$是常数）；
（2）$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)g(x))=f\left(x_0\right)g\left(x_0\right)$；
（3）$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)}\left(g\left(x_0\right)\ne 0\right)$
【注】$f(x)$与$g(x)$必须在共同的区间上。


【例】$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+\sin x}{3^x+2x}=\frac{4+\sin 2}{9+4}=\frac{4+\sin 2}{13}$


【例】$f(x)=c,g(x)=x$，$c{x}^2,c{x}^3,...,c{x}^n$是连续函数。


【例】多项式$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0$在$(-\infty ,+\infty )$上连续


【例】有理函数$Q_n(x)=\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}$（除去使得分母为0的点）在它的定义域上连续。


【例3.2.6】$\sin x,\cos x$在$(-\infty ,+\infty )$上连续，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$在 { x ∣ x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } \{x|x\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\} {x∣x=kπ+2π​,k∈Z}，即把分母为0的点抠掉。
$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$在 { x ∣ x ≠ k π , k ∈ Z } \{x|x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}\} {x∣x=kπ,k∈Z}，即把分母为0的点抠掉。

3.2.7 不连续点（间断点）的类型

连续的定义$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，
（1）$f(x)$在$x_0$处有定义；
（2）$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$；
（3）$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$.
三者缺一不可，否则，函数$f(x)$在$x_0$点不连续，亦称$f(x)$在点$x_0$间断，这时$x_0$是函数$f(x)$不连续点，亦称间断点。

• 第一类不连续点（间断点）：$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$
  【例】$f(x)=\text{sgn}x=\{\begin{array}{lc}-1& ,x<0\\ 0& ,x=0\\ 1& ,x>0\end{array}$
  
  $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=1\ne \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=-1$
  则$f(x)=\text{sgn}x$在$x=0$处不连续。
  将第一类不连续点（间断点）称为跳跃间断点。
• 第二类不连续点（间断点）：$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$至少有一个不存在
  【例】$f(x)=\sin \frac{1}{x}$
  
  $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)$都不收敛
  所以$x=0$是它的第二类不连续点。
  【例】$f(x)=e^{\frac{1}{x}}$
  $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty (e^{+\infty })$
  $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=0(e^{-\infty })$
  
  所以$x=0$是第二类不连续点，又叫无穷间断点。
• 第三类不连续点（陈纪修老师教材将可去间断点划分到第三类不连续点）：
  $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\{\begin{array}{l}\ne f(x_0)\\ 或f(x)在x=x_0处没有定义\end{array}$
  【例】$f(x)=x\sin \frac{1}{x}$在$x=0$处有极限，但是它在$x=0$处无定义，$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$，它在$x=0$点不连续，重新定义新函数$\tilde{f}(x)=\{\begin{array}{lc}f(x)& ,x\ne 0\\ 0& ,x=0\end{array}$，此时$\tilde{f}(x)$在$x=0$处连续。
  第三类不连续点称为可去间断点（可去不连续点）。

【例】【迪利克雷函数】$D(x)=\{\begin{array}{lc}1& ,x是有理数\\ 0& ,x是无理数\end{array}$

（由无限个点组成，红色并非直线）
$\forall x_0\in (-\infty ,+\infty )$
$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }D(x)$，取$x_n^{\prime }$是有理数，$x_n>x_0,x_n\to x_0$，$\underset{n\to \infty }{\lim }D(x_n^{\prime })=1$，取$x_n^{\prime \prime }$是无理数，$x_n^{\prime \prime }>x_0,x_n^{\prime \prime }\to x_0$，$\underset{n\to \infty }{\lim }D(x_n^{\prime \prime })=0$
有两个函数子列极限不相等，根据Heine（海涅）定理，$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }D(x)$不存在