3. 函数极限与连续函数
3.2 连续函数
3.2.10 复合函数的连续性
【例3.2.11】证明:对任意实数 α \alpha α, f ( x ) = x α f(x)=x^{\alpha} f(x)=xα在 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)上连续。
【证】 f ( x ) = x α = e α ln x f(x)=x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x} f(x)=xα=eαlnx
即 y = e u , u = α ln x y=e^{u},u=\alpha\ln x y=eu,u=αlnx
若 α = \alpha= α=正整数 n n n,则 f ( x ) = x n f(x)=x^{n} f(x)=xn,它在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上连续。
若 α = \alpha= α=负整数 − n -n −n,则 f ( x ) = x − n f(x)=x^{-n} f(x)=x−n,它在 ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) (-\infty,0)\cup (0,+\infty) (−∞,0)∪(0,+∞)上连续
若 α = \alpha= α=正的有理数 q p , p , q \frac{q}{p},p,q pq,p,q是最简分数(既约分数)
若 p p p是奇数,它在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上连续。比如 f ( x ) = x 1 3 = x 3 f(x)=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x} f(x)=x31=3x
若 p p p是偶数,它在 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)上连续
3.2.11 基本初等函数的连续性
- y = c y=c y=c(常函数)
- 幂函数
- 三角函数
- 反三角函数
- 指数函数
- 对数函数
基本初等函数在定义域内都是连续的。
3.2.12 初等函数的连续性
【定理3.2.4】一切初等函数在它的定义域上连续。
【注】初等函数是由基本初等函数通过四则运算复合而成的。
【例3.2.12】求 lim x → 0 ( cos x ) 1 x 2 \lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}} x→0lim(cosx)x21.
【解】这是 1 ∞ 1^{\infty} 1∞的待定型,换底
lim x → 0 ( cos x ) 1 x 2 = lim x → 0 ( 1 − ( 1 − cos x ) ) 1 x 2 = lim x → 0 ( 1 − 2 sin 2 x 2 ) 1 x 2 \lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-(1-\cos x))^{\frac{1}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-2\sin^{2}\frac{x}{2})^{\frac{1}{x^{2}}} x→0lim(cosx)x21=x→0lim(1−(1−cosx))x21=x→0lim(1−2sin22x)x21
( cos x ) 1 x 2 = e ln ( cos x ) 1 x 2 = e 1 x 2 ln ( cos x ) = e 1 x 2 ln ( 1 − 2 sin 2 x 2 ) (\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}=e^{\ln(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}}=e^{\frac{1}{x^{2}}\ln(\cos x)}=e^{\frac{1}{x^{2}}\ln(1-2\sin^{2}\frac{x}{2})} (cosx)x21=eln(cosx)x21=ex21ln(cosx)=ex21ln(1−2sin22x)
lim x → 0 1 x 2 ln ( 1 − 2 sin 2 x 2 ) = lim x → 0 2 sin 2 x 2 x 2 ln ( 1 − 2 sin 2 x 2 ) 1 2 sin 2 x 2 \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(1-2\sin^{2}\frac{x}{2})=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}\ln(1-2\sin^{2}\frac{x}{2})^{\frac{1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}}} x→0limx21ln(1−2sin22x)=x→0limx22sin22xln(1−2sin22x)2sin22x1
由于 lim x → 0 ( 1 − x ) 1 x = 1 e \lim\limits_{x\to 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} x→0lim(1−x)x1=e1
lim x → 0 2 sin 2 x 2 x 2 = lim x → 0 2 sin 2 x 2 4 × ( x 2 ) 2 = 1 2 \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{4\times(\frac{x}{2})^{2}}=\frac{1}{2} x→0limx22sin22x=x→0lim4×(2x)22sin22x=21
所以 lim x → 0 1 x 2 ln ( 1 − 2 sin 2 x 2 ) = lim x → 0 2 sin 2 x 2 x 2 ln ( 1 − 2 sin 2 x 2 ) 1 2 sin 2 x 2 = 1 2 × ln ( 1 e ) = − 1 2 \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln(1-2\sin^{2}\frac{x}{2})=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}\ln(1-2\sin^{2}\frac{x}{2})^{\frac{1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2}\times\ln(\frac{1}{e})=-\frac{1}{2} x→0limx21ln(1−2sin22x)=x→0limx22sin22xln(1−2sin22x)2sin22x1=21×ln(e1)=−21
所以 lim x → 0 ( cos x ) 1 x 2 = e − 1 2 = 1 e \lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}} x→0lim(cosx)x21=e−21=e1
【例3.2.13】放射性物质的质量变化
设时刻 t = 0 t=0 t=0时,物质的总量 M = M ( 0 ) M=M(0) M=M(0),放射的比例系数为 k k k,时刻 t t t的时候, M ( t ) M(t) M(t)为多少?
【解】将 ( 0 , t ] (0,t] (0,t]分成 n n n个小区间, ( ( i − 1 ) t n , i t n ] , i = 1 , 2 , . . . , n (\frac{(i-1)t}{n},\frac{it}{n}],i=1,2,...,n (n(i−1)t,nit],i=1,2,...,n
记小区间为 △ i \bigtriangleup_{i} △i,则 ( 0 , t ] = ⋃ i = 1 n △ i (0,t]=\bigcup\limits_{i=1}^{n} \bigtriangleup_{i} (0,t]=i=1⋃n△i
△ 1 : M ( t n ) ≈ M − k M ⋅ t n = M ( 1 − k t n ) \bigtriangleup_{1}:M(\frac{t}{n})\approx M-kM\cdot \frac{t}{n}=M(1-\frac{kt}{n}) △1:M(nt)≈M−kM⋅nt=M(1−nkt)
△ 2 : M ( 2 t n ) ≈ M ( 1 − k t n ) − k M ( 1 − k t n ) ⋅ t n = M ( 1 − k t n ) 2 \bigtriangleup_{2}:M(\frac{2t}{n})\approx M(1-\frac{kt}{n})-kM(1-\frac{kt}{n})\cdot\frac{t}{n}=M(1-\frac{kt}{n})^{2} △2:M(n2t)≈M(1−nkt)−kM(1−nkt)⋅nt=M(1−nkt)2
…
△ n : M ( n t n ) = M ( t ) ≈ M ( 1 − k t n ) n \bigtriangleup_{n}:M(\frac{nt}{n})=M(t)\approx M(1-\frac{kt}{n})^{n} △n:M(nnt)=M(t)≈M(1−nkt)n
则 M ( t ) = lim n → ∞ M ( 1 − k t n ) n = lim n → ∞ M e n ln ( 1 − k t n ) = lim n → ∞ M e n ⋅ k t n ln ( 1 − k t n ) n k t = M e − k t M(t)=\lim\limits_{n\to\infty}M(1-\frac{kt}{n})^{n}=\lim\limits_{n\to\infty}Me^{n\ln(1-\frac{kt}{n})}=\lim\limits_{n\to\infty}Me^{n\cdot\frac{kt}{n}\ln(1-\frac{kt}{n})^{\frac{n}{kt}}}=Me^{-kt} M(t)=n→∞limM(1−nkt)n=n→∞limMenln(1−nkt)=n→∞limMen⋅nktln(1−nkt)ktn=Me−kt