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三角函数的周期性

本节的主题是研究三角函数的周期性，我们之前已经解析地定义三角函数为
$$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!},\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

设函数
$$F:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2,x\mapsto F(x)=\left(\begin{array}{c}\sin x\\ \cos x\end{array}\right)$$

记 $S(x)=\sin x,C(x)=\cos x$

记矩阵 $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$，则容易发现 $F$ 满足如下的微分方程
$$\{\begin{array}{l}{F}^{\prime }=JF\\ f{|}_{x=0}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

命题：微分方程解的存在唯一性
设 $f\in C^0[a,b]$ 且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，若 $f^{\prime }(x)\equiv 0$ 且 $f(a)=c$，则 $f(x)\equiv c$，或等价地说，如下的常微分方程
$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=0\\ f{|}_{x=a}=c\end{array}$$ 存在唯一的解

证明（Lagrange中值定理）
反证法，若存在某个 $x_1\in (a,b)$ 使得 $f(x_1)\ne c$，则在 $[a,x_1]$ 上使用 Lagrange中值定理，存在 $x_0\in (a,x_1)$，使得
$$f^{\prime }(x_0)=\frac{f(x_1)-c}{x_1-a}\ne 0$$矛盾

命题
$S(x)$ 和 $C(x)$ 是周期函数

证明
首先由 $C^{\prime }(x)=-S(x)$ 可证 $0$ 是 $C(x)$ 的一个极大值点;

第二，说明存在一个 $A>0$，使得在 $[0,A]$ 上，$C(x)$ 单调递减且 $C(A)=0$

要说明 $A$ 的存在性，只需说明 $A\ne +\infty$，用反证法，由 $C(x)>0$ 得 $S(x)$ 严格单调递增，又对 $x\ge \delta$
$$S(x)\ge S(\delta )\iff (C(x)+sx{)}^{\prime }<0$$ 从而
$$C(\delta )+s\delta \ge C(x)+sx>sx$$这显然不可能

第三，重复以上说明，可证存在 $B>0$，使得在 $[A,A+B]$ 上，$S(x)$ 单调递减且 $S(A+B)=0$

第四，定义 $\pi =A+B$，发现 $\left(\begin{array}{c}-S(x+\pi )\\ -C(x+\pi )\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}S(x)\\ C(x)\end{array}\right)$ 均为常微分方程的解
$$\{\begin{array}{l}{F}^{\prime }=JF\\ f{|}_{x=0}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

由解的唯一性，得到 $S(x)=-S(x+\pi )$，从而 $S(x)=S(x+2\pi )$，$2\pi$ 即为 $S(x)$ 的周期

又因为 $S(x)$ 在 $(0,\pi )$ 上为正，在 $(\pi ,2\pi )$ 上为负，则 $2\pi$ 是 $S(x)$ 的最小周期

类似地，$2\pi$ 也是 $C(x)$ 的最小周期

注：该证明也给出了 $\pi$ 的另一种定义

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著