2. 数列极限
2.4 收敛准则
2.4.7 Cauchy（柯西）收敛原理
单调有界数列收敛定理是一个充分性定理，有界数列如果不单调，不一定不收敛。接下来要找一个充分且必要的定理，即Cauchy收敛原理。
【定义2.4.3】 { x n } \{x_{n}\} {xn}满足 : ∀ ε > 0 , ∃ N , ∀ m , n > N ( 或写成 ∀ m > n > N ) : ∣ x n − x m ∣ < ε :\forall \varepsilon >0,\exists N,\forall m,n>N(或写成\forall m>n>N):|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon :∀ε>0,∃N,∀m,n>N(或写成∀m>n>N):∣xn−xm∣<ε，则称 { x n } \{x_{n}\} {xn}为基本数列。
【例2.4.12】 x n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + . . . + 1 n 2 x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}} xn=1+221+321+...+n21是否为基本数列。
【解】不妨设 m > n m>n m>n，由于 { x n } \{x_{n}\} {xn}单调增加，所以 x m > x n x_{m}>x_{n} xm>xn， x m − x n = 1 ( n + 1 ) 2 + 1 ( n + 2 ) 2 + . . . + 1 m 2 < 1 n ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + . . . + 1 ( m − 1 ) m = ( 1 n − 1 n + 1 ) + ( 1 n + 1 − 1 n + 2 ) + . . . + ( 1 m − 1 − 1 m ) = 1 n − 1 m < 1 n x_{m}-x_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+2)^{2}}+...+\frac{1}{m^{2}}<\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{1}{(m-1)m}=(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})+...+(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}<\frac{1}{n} xm−xn=(n+1)21+(n+2)21+...+m21<n(n+1)1+(n+1)(n+2)1+...+(m−1)m1=(n1−n+11)+(n+11−n+21)+...+(m−11−m1)=n1−m1<n1
lim n → ∞ 1 n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 n→∞limn1=0，
∣ 1 n − 0 ∣ = 1 n < ε |\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}<\varepsilon ∣n1−0∣=n1<ε
取 N = [ 1 ε ] , ∀ n > N , ∣ 1 n − 0 ∣ < ε N=[\frac{1}{\varepsilon}],\forall n>N, |\frac{1}{n}-0|<\varepsilon N=[ε1],∀n>N,∣n1−0∣<ε
∀ m > n > N , ∣ x n − x m ∣ = x m − x n < 1 n < ε \forall m>n>N,|x_{n}-x_{m}|=x_{m}-x_{n}<\frac{1}{n}<\varepsilon ∀m>n>N,∣xn−xm∣=xm−xn<n1<ε
所以 { x n } \{x_{n}\} {xn}是基本数列。
【例2.4.13】 x n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} xn=1+21+31+...+n1是否为基本数列？
【解】设 m > n m>n m>n，由于 { x n } \{x_{n}\} {xn}单调增加，所以 x m > x n x_{m}>x_{n} xm>xn
∣ x m − x n ∣ = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 m |x_{m}-x_{n}|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{m} ∣xm−xn∣=n+11+n+21+...+m1
取 m = 2 n m=2n m=2n，则 ∣ x 2 n − x n ∣ = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > n ⋅ 1 2 n = 1 2 |x_{2n}-x_{n}|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2} ∣x2n−xn∣=n+11+n+21+...+2n1>n⋅2n1=21
取 ε = 1 2 \varepsilon=\frac{1}{2} ε=21，对任意的 N N N，总是存在 m = 2 n > n > N : ∣ x m − x n ∣ = ∣ x n − x m ∣ > ε m=2n>n>N:|x_{m}-x_{n}|=|x_{n}-x_{m}|>\varepsilon m=2n>n>N:∣xm−xn∣=∣xn−xm∣>ε
所以 { x n } \{x_{n}\} {xn}不是基本数列。
【定理2.4.7】【Cauchy（柯西）收敛原理】 { x n } \{x_{n}\} {xn}收敛的充分必要条件是 { x n } \{x_{n}\} {xn}是基本数列。
【证】先证必要性，设 lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a n→∞limxn=a，则 ∀ ε > 0 , ∃ N , ∀ n > N : ∣ x n − a ∣ < ε 2 \forall \varepsilon >0,\exists N,\forall n>N:|x_{n}-a|<\frac{\varepsilon}{2} ∀ε>0,∃N,∀n>N:∣xn−a∣<2ε
∀ m > N : ∣ x m − a ∣ < ε 2 \forall m>N:|x_{m}-a|<\frac{\varepsilon}{2} ∀m>N:∣xm−a∣<2ε
所以 ∀ n , m > N : ∣ x m − x n ∣ = ∣ ( x m − a ) − ( x n − a ) ∣ ≤ ∣ x m − a ∣ + ∣ x n − a ∣ < ε \forall n,m > N:|x_{m}-x_{n}|=|(x_{m}-a)-(x_{n}-a)|\le|x_{m}-a|+|x_{n}-a|<\varepsilon ∀n,m>N:∣xm−xn∣=∣(xm−a)−(xn−a)∣≤∣xm−a∣+∣xn−a∣<ε
则 { x n } \{x_{n}\} {xn}是基本数列
再证充分性，先证 { x n } \{x_{n}\} {xn}有界，
由于 { x n } \{x_{n}\} {xn}是基本数列，对 ε = 1 > 0 \varepsilon=1>0 ε=1>0， ∃ N 0 , ∀ n , m > N 0 : ∣ x n − x m ∣ < 1 \exists N_{0},\forall n,m>N_{0}:|x_{n}-x_{m}|<1 ∃N0,∀n,m>N0:∣xn−xm∣<1
取 x m x_{m} xm为 x N 0 + 1 x_{N_{0}+1} xN0+1（ N 0 + 1 > N 0 N_{0}+1>N_{0} N0+1>N0，符合定义）
则 ∣ x n − x N 0 + 1 ∣ < 1 |x_{n}-x_{N_{0}+1}|<1 ∣xn−xN0+1∣<1
由 ∣ x n ∣ − ∣ x N 0 ∣ ≤ ∣ ∣ x n ∣ − ∣ x N 0 ∣ ∣ ≤ ∣ x n − x N 0 ∣ < 1 |x_{n}|-|x_{N_{0}}|\le ||x_{n}|-|x_{N_{0}}|| \le |x_{n}-x_{N_{0}}|<1 ∣xn∣−∣xN0∣≤∣∣xn∣−∣xN0∣∣≤∣xn−xN0∣<1可知
∣ x n ∣ < ∣ x N 0 + 1 ∣ + 1 |x_{n}|<|x_{N_{0}}+1|+1 ∣xn∣<∣xN0+1∣+1
取 M = max { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , . . . , ∣ x N 0 ∣ , ∣ x N 0 + 1 ∣ + 1 } M=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{N_0}|,|x_{N_{0}+1}|+1\} M=max{∣x1∣,∣x2∣,...,∣xN0∣,∣xN0+1∣+1}（有限项），则 ∀ n , ∣ x n ∣ ≤ M \forall n,|x_{n}|\le M ∀n,∣xn∣≤M，即 { x n } \{x_{n}\} {xn}有界，由魏尔斯特拉斯定理可知， { x n } \{x_{n}\} {xn}必有收敛子列记为 { x n k } \{x_{n_{k}}\} {xnk}
lim n → ∞ x n k = ξ \lim\limits_{n\to\infty}x_{n_{k}}=\xi n→∞limxnk=ξ
∀ ϵ > 0 , ∃ N , ∀ n , m > N : ∣ x n − x m ∣ < ε 2 \forall \epsilon >0,\exists N,\forall n,m>N:|x_{n}-x_{m}|<\frac{\varepsilon}{2} ∀ϵ>0,∃N,∀n,m>N:∣xn−xm∣<2ε
取 k k k充分大，使得 n k > N n_{k}>N nk>N，用 n k n_{k} nk代替 m m m，即 ∣ x n − x n k ∣ < ε 2 |x_{n}-x_{n_{k}}|<\frac{\varepsilon}{2} ∣xn−xnk∣<2ε，令 k → ∞ k\to\infty k→∞，得到 ∣ x n − ξ ∣ ≤ ε 2 < ε |x_{n}-\xi|\le\frac{\varepsilon}{2}< \varepsilon ∣xn−ξ∣≤2ε<ε（求极限以后变成小于等于）
则 lim n → ∞ x n = ξ \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\xi n→∞limxn=ξ
【例2.4.14】 ∣ x n + 1 − x n ∣ ≤ k ∣ x n − x n − 1 ∣ , 0 < k < 1 , ∀ n = 2 , 3... |x_{n+1}-x_{n}|\le k|x_{n}-x_{n-1}|,0<k<1,\forall n=2,3... ∣xn+1−xn∣≤k∣xn−xn−1∣,0<k<1,∀n=2,3...，称 { x n } \{x_{n}\} {xn}满足压缩性条件，证明：如果 { x n } \{x_{n}\} {xn}满足压缩性条件，则 { x n } \{x_{n}\} {xn}收敛。
【证】 ∣ x n + 1 − x n ∣ ≤ ∣ x n − x n − 1 ∣ ≤ k 2 ∣ x n − 1 − x n − 2 ∣ ≤ . . . ≤ k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ |x_{n+1}-x_{n}|\le|x_{n}-x_{n-1}|\le k^{2}|x_{n-1}-x_{n-2}|\le ...\le k^{n-1}|x_{2}-x_{1}| ∣xn+1−xn∣≤∣xn−xn−1∣≤k2∣xn−1−xn−2∣≤...≤kn−1∣x2−x1∣
不妨设 m > n , ∣ x m − x m ∣ = ∣ x m − x m − 1 + x m − 1 − x m − 2 + . . . + x n + 1 − x n ∣ ≤ ∣ x m − x m − 1 ∣ + ∣ x m − 1 − x m − 2 ∣ + . . . + ∣ x n + 1 − x n ∣ ≤ k m − 2 ∣ x 2 − x 1 ∣ + k m − 3 ∣ x 2 − x 1 ∣ + . . . + + k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ = k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ ( k m − 2 − ( n − 1 ) + . . . + k + 1 ) = k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ ( k m − n − 1 + . . . + k + 1 ) = k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ 1 ⋅ ( 1 − k m − n − 1 − 0 + 1 ) 1 − k = k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ 1 − k m − n 1 − k < k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ 1 1 − k m>n,|x_{m}-x_{m}|=|x_{m}-x_{m-1}+x_{m-1}-x_{m-2}+...+x_{n+1}-x_{n}|\le|x_{m}-x_{m-1}|+|x_{m-1}-x_{m-2}|+...+|x_{n+1}-x_{n}|\le k^{m-2}|x_{2}-x_{1}|+k^{m-3}|x_{2}-x_{1}|+...++k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|=k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|(k^{m-2-(n-1)}+...+k+1)=k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|(k^{m-n-1}+...+k+1)=k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|\frac{1\cdot(1-k^{m-n-1-0+1})}{1-k}=k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|\frac{1-k^{m-n}}{1-k}<k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|\frac{1}{1-k} m>n,∣xm−xm∣=∣xm−xm−1+xm−1−xm−2+...+xn+1−xn∣≤∣xm−xm−1∣+∣xm−1−xm−2∣+...+∣xn+1−xn∣≤km−2∣x2−x1∣+km−3∣x2−x1∣+...++kn−1∣x2−x1∣=kn−1∣x2−x1∣(km−2−(n−1)+...+k+1)=kn−1∣x2−x1∣(km−n−1+...+k+1)=kn−1∣x2−x1∣1−k1⋅(1−km−n−1−0+1)=kn−1∣x2−x1∣1−k1−km−n<kn−1∣x2−x1∣1−k1
当 n → ∞ n\to\infty n→∞， k n − 1 → 0 k^{n-1}\to 0 kn−1→0
则 ∀ ε > 0 , ∃ N , ∀ n > N : ∣ k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ 1 1 − k − 0 ∣ = k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ 1 1 − k < ε \forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n>N:|k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|\frac{1}{1-k}-0|=k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|\frac{1}{1-k}<\varepsilon ∀ε>0,∃N,∀n>N:∣kn−1∣x2−x1∣1−k1−0∣=kn−1∣x2−x1∣1−k1<ε
∀ m > n > N : ∣ x m − x n ∣ < k n − 1 ∣ x 2 − x 1 ∣ 1 1 − k < ε \forall m>n>N:|x_{m} - x_{n}|<k^{n-1}|x_{2}-x_{1}|\frac{1}{1-k}<\varepsilon ∀m>n>N:∣xm−xn∣<kn−1∣x2−x1∣1−k1<ε
则 { x n } \{x_{n}\} {xn}是基本数列，由Cauchy（柯西）收敛原理，则 { x n } \{x_{n}\} {xn}收敛。
