Ch1.函数、极限、连续

(一)函数

1.函数的概念

1.函数

是否是同一个函数：看定义域和对应法则f，是否相同。与字母(记号)无关。

2.复合函数

3.反函数：若g(x)是f(x)的反函数，则：
①$g(f(x))=x$
②$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f(x)},g^{\prime \prime }(x)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{[f^{\prime (}x){]}^3}$

①定义：【f是定义域到值域的一一映射】对于每一个y，都有唯一的x与之对应。则有反函数。
②如何求反函数：①反解 y=f(x) ->x=g(y) ②x与y调换，写成y=g(x)。则f与g互为反函数

4.基本初等函数
①幂：$x^a$
②指：$y=a^x$ (a>0,a≠1)
③对：$y=lo{g}_{a}x$ (a>0,a≠1)
④三角：sinx cosx tanx
⑤反三角函数：arcsinx arccosx arctanx

(1)arcsinx，定义域[-1,1]，值域 [-$\frac{\pi }{2}$,$\frac{\pi }{2}$]

$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})，arcsin(sin\theta )=\theta$
$\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi )，arcsin(sin\theta )=\pi -\theta$

(2)arccosx,定义域[-1,1]，值域 [-$\frac{\pi }{2}$,$\frac{\pi }{2}$]

初等函数：
由五类基本初等函数经过有限次的 加减乘除和复合 运算后，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。

2.函数的性质 (函数四性态)

单调性、奇偶性、周期性、有界性 ＋对称

1.单调性

(1)$f(x)单增⇦⇨f^{\prime }(x)\ge 0$

(2)f每多一个负号，单调性发生变化：f(x)单增，则f(-x)单减，-f(-x)单增

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例题1：武钟祥老师每日一题 24.Day62   单调性

答案：D

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2.奇偶性

(1)奇函数：
①定义：$f(-x)=-f(x)$
②性质：i.奇函数关于原点对称 ii.若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0

(2)偶函数
①定义：$f(-x)=f(x)$
②性质：偶函数关于y轴对称

(3)导函数的奇偶性：

(4)$f(|x|)与|f(x)|$： $|y|$是关于y的偶函数

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例题1：07年3.   $f(x)$为奇函数，则$F(x)$为偶函数

答案：C

例题2：19年12.   $|y|$是关于y的偶函数

分析：

答案：$\frac{32}{3}$

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3.周期性

1.定义：$f(x+T)=f(x)$，则f(x)为周期函数
2.性质：
①设f(x)连续且以T为周期，则 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 是以T为周期的周期函数 ⇦⇨ ${\int }_0^{T}f(x)dx=0$
②周期函数的原函数是周期函数 ⇦⇨(充要条件) 其在一个周期上的积分为零
③若F(x)是以T为周期的可导函数，则$F^{\prime }(x)=f(x)$仍是以T为周期的周期函数
④设f(x)是以T为周期的连续函数，则${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$，${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx$

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例题1：660 T212

例题2：18年18(2)

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4.有界性

有界，既有上界，又有下界

5.对称性

1.$f(x)$与$f(-x)$关于$y轴对称$
2.$f(x)$与$-f(x)$关于$x轴对称$

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例题1：注意函数的对称性。2023年19.曲面积分就是对称性。

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(二)极限

1.考试内容概要
①极限的概念
②极限的性质
③极限存在准则
④无穷小
⑤无穷大

1.极限的概念

①数列极限

①数学语言定义（ε-N语言）

②几何意义
数轴，只有有限项落在区间外面，当n>N时所有点都落在开区间(a-ε,a+ε)内

i.变式
若极限为a

ii.收敛数列必有界。

单调有界 -> 收敛/有极限 -> 有界

④数列极限和部分列极限 的关系：数列极限存在且为a，则所有部分列极限也存在且为a

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例题1：19年18.   数列极限：定积分的保号性、三角换元(有根式)、夹逼定理

答案：

例题2：08年4.   数列极限、举反例

分析：
f(x)单调 + {x_n}单调 = {f(x_n)}单调
f(x)单调 + f{x_n}单调 = {x_n}单调

对于CD，举个反例：f(x)=arctanx单调有界，{x_n}=n（n=1,2,3,…），则 { f ( x n ) } = arctan ⁡ n \{f(x_n)\}=\arctan n {f(xn​)}=arctann，收敛于$\frac{\pi }{2}$，而 lim ⁡ n → ∞ { x n } = lim ⁡ n → ∞ n = ∞ \lim\limits_{n→∞}\{x_n\}=\lim\limits_{n→∞}n=∞ n→∞lim​{xn​}=n→∞lim​n=∞，{x_n}发散

答案：B

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②函数极限

函数是f(x)，数列$a_n=f(n)$，n只能取正整数。因此，函数极限是一般，数列极限的特殊。一般可以推出特殊，反之不可。

n→∞：n→+∞
x→∞：|x|→+∞

(1)自变量趋向于有限值的极限
左极限和右极限

(2)自变量趋向于无穷大的极限

定理：函数f(x)存在极限，当且仅当左右极限都存在且相等

需要区分左右极限的三种问题 （左右极限有区别，需要分）

①分段函数在分段点的极限
②$e^{\infty }$ ：分正负无穷，$e^{+\infty }=\infty ，e^{-\infty }=0$
③arctan∞：分正负无穷，$arctan+\infty =\frac{\pi }{2},arctan-\infty =-\frac{\pi }{2}$

2.极限的性质

①有界性

收敛必有界
1.数列

由极限的有界性知，∃M>0，使得$|x_n|\le M$

证明：数轴上，n>N后落在a的邻域内，有界。之前的有限项，因为数量有限，所以界一定存在。综上，数列收敛，则一定有界。

2.函数

$$f(x)=\{\begin{array}{llc}0,& x<01,& x\ge 0\end{array}$$

②保号性

如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A，且A＞0，$那么存在常数$\delta >0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，有$f(x)>0$（同理$A<0$ 时，有 $f(x)<0$）

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例题1：武忠祥老师每日一题 24.Day64   保号性、极值

分析：

答案：D

例题2：武忠祥老师每日一题 24.Day65   保号性、极值

分析：

答案：B

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③极限值与无穷小的关系

3.极限存在准则

①单调有界准则

单调有界准则：单调有界，必有极限（数列收敛）
①单调增、有上界 ②单调减、有下界

递推关系：$a_{n+1}=f(a_n)$，用单调有界准则

喻老三：考研中证明极限存在，至今为止，每次都考 单调有界准则

收敛和有极限是等价的意思。不过一般只有 数列和级数 才说收敛。

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例题1：18年19.  单调有界准则证明数列极限存在

答案：

例题2：06年16.

例题3：08年4.

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②夹逼定理

A<x<B，若A、B的极限都是a，则x的极限也为a

n项和：用夹逼定理

若题目中出现了形如 A<x≤B 的不等式，留意下是否可以通过变形后夹逼。

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例题1：16年4.   连续的定义、可导的定义、夹逼定理

分析：从题目已知，通过变形得到题目所求的夹逼。看到有不等式，可以留意一下是否 变形后能夹逼。

答案：D

例题2：19年18.

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4.无穷小量

1.无穷小量的概念
2.无穷小量的比较
3.无穷小量的性质

无穷小量阶的比较

同阶无穷小 ⇦⇨ 阶数相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=k（k为非零的任意常数）
等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

阶 = (里面被积的阶+1)×外面上限的阶

$$(1+x{)}^{\mu }\sim \mu x$$
例如：$\sqrt{1+x}\sim \frac{x}{2}$

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例题1：

答案：
解法1：加1减1、等价无穷小替换
解法2：拉格朗日中值定理
解法3：有理化

例题2：

答案：幂指函数化e^ln形式，用等价无穷小代换

例题3：07年1.  等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

分析：
C：$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\sim \frac{\sqrt{x}}{2}$

B：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}})}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1$

答案：B

例题4：20年1.

分析：阶 = (里面被积的阶+1)×外面上限的阶

A：${\int }_0^x(e^{t^2}-1)\mathrm{d}t\sim$ ${\int }_0^x{t}^2\mathrm{d}t$，阶=2+1=3

B：${\int }_0^x\ln$$(1+\sqrt{t^3})\mathrm{d}t\sim {\int }_0^x\sqrt{t^3}\mathrm{d}t={\int }_0^x{t}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t$，阶=1.5+1=2.5

C：${\int }_0^{sinx}\sin t^2\mathrm{d}t\sim {\int }_0^{sinx}{t}^{2}dt$，阶=2+1=3

D：${\int }_0^{1-cosx}\sqrt{\mathrm{si}{\mathrm{n}}^3\mathrm{t}}\mathrm{dt}\sim$${\int }_0^{\frac{1}{2}{x}^2}{t}^{\frac{3}{2}}dt$，阶=(1.5+1)×2=5

答案：D

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5.无穷大量

无穷大比阶

$x^x>>x!>>a^x>>x^a>>{\ln }^{k}x$
幂指 >> 阶乘 >> 指数 >> 幂 >> 对数

1.无穷大量的概念：无穷大指的是 绝对值趋向于正无穷，无穷大要分正无穷大、负无穷大
2.无穷大量的比阶：幂指>阶乘>指>幂>对
3.无穷大量的性质
4.无穷大量和无界变量的关系
5.无穷大量和无穷小量的关系

一境之差，天差地别

4.无穷大量与无界变量的关系：
无穷大量要求n>N后每一项都很大，要连续的无界。无界变量只要求存在有一点处无界。无穷大量⊇无界变量

5.无穷大量与无穷小量的关系：0也是无穷小。无穷小取倒数且非0，才是无穷大。1/0无意义。

例题2：06年16.   (1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限 (2)凑重要极限，求极限

分析：
(1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限
(2)凑重要极限，求极限

答案：$e^{-\frac{1}{6}}$

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6.未定式

① 0·∞

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a{\ln }^{k}x=0(a>0,k>0)$

7.求极限（求极限的方法）

求极限的方法：
①等价无穷小代换 、配合 加项减项
②洛必达法则 (L’Hôpital’s rule)
③拉格朗日中值定理：出现 同一函数 在两点函数值之差
④两个重要极限、几个基本极限
⑤有界量×无穷小=无穷小
⑥泰勒公式
⑦夹逼准则
⑧导数定义
⑨定积分定义、二重积分定义

1.基本极限求极限 (两个重要极限)

(1)常用基本极限

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ \underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e \end{gathered}$$

(2)“1^∞”型极限常用结论
①凑e
②改写洛必达
③三部曲

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例题1：

答案：三部曲

例题2：11年15.   重要极限

答案：

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2.利用等价无穷小代换求极限

1.代换原则：乘除关系随便换，加减关系要同阶，减法不能为1，加法不能为-1

等价无穷小

2.常见等价无穷小

阶	等价无穷小：x→0
一阶	$x\sim sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx\sim \ln (1+x)\sim e^x-1$ $a^x-1\sim x\ln a$ $(1+x{)}^a-1\sim ax$，${}^n\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$
二阶	$1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2$，$1-co{s}^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$ $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$
三阶	$x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3$，$tanx-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$ $arcsinx-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$，$x-arctanx\sim \frac{1}{3}{x}^3$

①$a^x-1\sim x\cdot \ln x$
②$(1+x{)}^{\alpha }\sim \alpha x$

推广：

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例题1：20年9.   求极限：洛必达、泰勒公式

分析：
先通分:原式=$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{(e^x-1)[ln(1+x)]}]=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}$

方法1：洛必达，一直洛

方法1.5：洛必达法则+提出分子中的分式（提出$\frac{1}{1+x}$）
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x}-e^x}{2x}$
（提出$\frac{1}{1+x}$）$=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+x}\cdot \frac{1-e^x(1+x)}{x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-e^x-x{e}^x}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x(x+1)-1}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }[e^x(x+1)+e^x]=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x(x+2)=-1$

方法2：泰勒公式
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$   $\therefore e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)]-[x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)]}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x^2+o(x^2)}{x^2}=-1$

答案：-1

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3.利用有理运算法则求极限

4）若$\lim f(x)\cdot g(x)$ 存在，且$\lim f(x)=\infty$，则$\lim g(x)=0$

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例题1：知道极限确定参数

思路：把左边极限存在的一项单独拿出来，因为运算后的极限存在，所以那些不存在的项加减后极限也必然存在
答案：

例题2：

答案：

例题3：

答案：有理运算法则常用结论3：极限商存在且非0，分子趋向于0，则分母也趋向于0

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4.利用洛必达法则求极限

①${\infty }^0$：化为$e^{\ln }$

②$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+C$

③f(x)n阶可导：最多推出n-1阶导数连续、极限存在，可用n-1次洛必达。$f^{(n)}(x)$要用导数定义
f(x)n阶导数连续：n阶导数连续、极限存在，可用n次洛必达直接求出$f^{(n)}(x)$

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例题1：抽象函数求极限，使用洛必达法则的原则

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5.利用泰勒公式求极限

arcsinx、tanx、arctanx的泰勒公式，可以用三阶无穷小等价代换求出

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例题1：

答案：①泰勒 ②洛必达＋加项减项 等价无穷小

例题2：一题多解

答案：①泰勒 ②各个击破(有界量×无穷小=0) ③(选择题)代入的方法

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6.利用夹逼原理求极限

$\underset{n\to \infty }{\lim }$ n a 1 n + a 2 n + . . . + a m n = m a x { a 1 , a 2 , . . . , a m } ^n\sqrt{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}=max\{a_1,a_2,...,a_m\} na1n​+a2n​+...+amn​ ​=max{a1​,a2​,...,am​}

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例题1：

答案：右边已经知道极限是3，左边大胆放缩，朝着目标是3来放缩。（有风险，万一右边求错了）

例题2：

结论：若干个数的n次方之和开根号的极限，为最大的那个数

例题2：继续用结论

例题3：几何的方法

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7.利用单调有界准则求极限

递推关系处理数列极限：
$x_{n+1}=f(x_n)$，求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$：
①单调有界准则证明极限存在 ②等式两边同时取极限，求出极限

(0)基本不等式
$2ab\le a^2+b^2$
${}^3\sqrt{abc}\le \frac{a+b+c}{3}$

(1)证明单调性：①后项减前项 ②后项比前项（难点）

找界

求出极限

8.定积分定义求极限

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答案：

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(三)连续

1.连续性的概念

2.间断点及其分类

间断点的定义

间断点的分类

1.第一类间断点：左右极限都存在

①可去间断点：左右极限都存在，且相等

②跳跃间断点：左右极限都存在，但不等

2.第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，为∞
①无穷间断点：存在无界点 / 瑕点，y(a)=∞，则a为无穷间断点，例如$\tan \frac{\pi }{2}$

②振荡间断点：振荡不存在，但是有界，并不是无穷。典型例子sin∞：$\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$

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例题1：

答案：①找间断点 ②求间断点处的极限，判断是第一类还是第二类间断点

例题2：

答案：

例题3：

答案：

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3.连续性的运算与性质

定义区间：包含在定义域内部的区间

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例题1：

答案：

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4.闭区间上连续函数的性质：有界性和最大最小值定理、介值定理、零点定理

1.有界性与最大最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上：①有界 ②且一定能取得它的最大值与最小值

2.介值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A,f(b)=B$，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi )=C(a<\xi <b)$

3.零点定理

若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$

零点：若$x_0$使得$f(x_0)=0$，那么称$x_0$为函数$f(x)$的零点

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例题1：

答案：最大最小值定理、介值定理

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总结

连续与可导

连续：左极限 = 函数值 =右极限
可导：左导数 = 右导数

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例题1：07年4.

分析：AB是连续，CD是可导

A：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}存在⇨\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0\stackrel{连续}{\to }f(0)=0$

或者 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot x=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }x=0$（有界×无穷小 = 无穷小）

B：两种方法同理可证 2f(0)=0

C：导数定义 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)存在$

D：举反例，|x|在x=0处不可导

答案：D

例题2：16年4.

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连续与极限

若f连续，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)$

方程根的存在性及个数

https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/128774498

极限需要注意的问题：

0.求极限，能否直接代入的问题

Ch2.导数与微分

1.导数的概念
导数，是函数在这一点的变化率

2.微分的概念
微分，是函数在这一点变化量的近似值。即，微分是函数该变量的线性主部。

3.导数与微分的几何意义

4.求导法则

5.结论
若f(x)可导：
①f是奇函数，则$f^{\prime }$为偶函数
②f是偶函数，则$f^{\prime }$为奇函数
③f是周期函数，则$f^{\prime }$也为周期函数
④偶函数在0点的奇数阶导数为0，奇函数在0点的偶数阶导数为0

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例题1：

答案：
f为周期函数，则f’‘‘也为周期函数，f’’‘(2π)=f’‘’(0)。
f为偶函数，偶函数在0点的奇数阶导数为0.

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2.1 导数概念

1.导数定义

1.变化率的极限存在
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

2.$\Delta x=x-x_0⇨x=x_0+\Delta x$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

常用结论：
f(x)在x=0处可导   ⇦⇨   $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$存在   ⇦⇨   左导数=右导数

(1)可导三要素

可导三要素：①一动一定(固定一点) ②两侧趋近 (0⁺ 0^-都能趋近) ③等价无穷小、高阶无穷小

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例题1：

C.没有固定一点，拆开两个极限不一定单独存在，所以不可拆。必须固定一点。

例题2： 无穷小等价代换

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(2)用导数定义判断可导性:含绝对值的导数

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例题1：18年1.

分析：ABC左右导数均相等，为0
D的$左导数f^{\prime }(0^{-})=\frac{1}{2}，右导数f^{\prime }(0^{+})=-\frac{1}{2}$。左右导数不等，不可导。

答案：D

例题2：05年7.         “动静”结合

分析：“动静”结合：只有趋向于无穷的n是动的，其他变量(如x)都是静的，看作常数
①先求极限，求出f(x)的分段函数表达式。注意aⁿ需要对底数a进行分类讨论
②对分段函数的分段点的可导性进行讨论。用导数定义。

答案：C

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例题2：20年2.   导数定义(可导)、同阶/高阶无穷小

分析：

A、B：题干只说f(x)在(-1,1)内有定义，没说连续，故不可导。取可去间断点的分段函数为反例。A、B❌

C： f(x)在x=0处可导 ⇦⇨ $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$存在   ∴f(x)为x的同阶或高阶无穷小
又因为$\sqrt{|x|}$比x低阶   ∴$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$。   C✔

D：当f(x)比x²低阶，$\frac{f(x)}{x^2}$应该为∞，不为0；当f(x)与x²同阶，$\frac{f(x)}{x^2}$应该为$k\ne 0$；举反例，取f(x)=x。D❌

答案：C

例题3：23李林六套卷(六)12.   参数方程 + 导数定义

分析：

答案：4

例题4：23李林六套卷(一) 2.

分析：跳转

答案：D

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2.导数应用

(1)导数的几何意义——切线斜率 （$k_{切线}=\frac{dy}{dx}$）

平面曲线可以用3种方法表示：①直角坐标 ②参数方程 ③极坐标

①直角坐标

②参数方程

③极坐标：根据$\{\begin{array}{rl}x& =\rho cos\theta \\ y& =\rho sin\theta \end{array}$把x、y表示成θ的参数方程

(2)相关变化率

知道一个变化率，求另一个相关的变量的变化率：和求参数方程的导数类似

2.2 函数的求导法则

1.导数公式

$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

2.复合函数的链式求导法则

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

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例题1：23李林四(三)11.

分析：

答案：$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\ln 2$

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2.3 高阶导数

1.求n阶导数的三种方法

利用n阶导数公式、求一阶二阶归纳一般规律，一般用于求n阶导函数
泰勒公式一般用于求固定点x₀的n阶导数

(1)n阶导数公式

①sinx的n阶导数 ②cosx的n阶导数 ③加法的n阶导数 ④乘法的n阶导数公式：莱布尼茨公式

$(\frac{1}{x+a}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{n!}{(x+a{)}^{n+1}}$

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例题1：880 多元 综合填空3

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(2)求1阶、2阶，归纳一般规律

也可以提出1/2，用高阶导数公式

(3)泰勒公式

4.泰勒公式的唯一性：
设函数f(x)在x=x₀处具有n阶导数，且
$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2((x-x_0{)}^2+a_3(x-x_0{)}^3+...+a_n(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)(x\to x_0)$$
则一定有$a_0=f(x_0)，a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},k=1,2,...$

$\therefore f^{(n)}(x_0)=a_n\cdot n!$

即 $a_3=\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}$ $f^{\prime \prime \prime }(0)=6a_3$

5.导函数的奇偶性：
f(x)为可导的奇函数，则其导函数为偶函数；f(x)为可导的偶函数，则其导函数为奇函数

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例题1：17年9.

分析：方法4：导函数的奇偶性
f(x)是偶函数，则f’‘’(x)为奇函数，则f’‘’(0)=0

答案：0

例题2：16年12.

分析：

答案：$\frac{1}{2}$

例题3：武钟祥每日一题 24-Day60  啊，我“拆”开了！

分析：

例题4：武钟祥每日一题 24-Day61

分析：
法一(回代法)：$求f^{\prime \prime }(x)=2f(x)f^{\prime }(x)，将f^{\prime }(x)=f^2(x)代入，得f^{\prime \prime }(x)=2f^3(x)$。只有A满足此规律(排除法。下图见填空题【归纳法】)

法二(特殊函数法)：令$f(x)=-\frac{1}{x}$。求导得$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^3},f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{6}{x^4}$，按照规律，应为A

答案：A

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2.4 隐函数及参数方程的导数

1.隐函数的导数

隐函数求导：直接两边求导后，直接代入。不必化简为y’ = 多少

2.由参数方程所确定的函数的导数

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例题1：10年9.

分析：

答案：0

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2.5 微分（一元可微）

微分的定义

$\Delta y=A\Delta +o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$

微分是函数改变量的近似值，即线性主部。

Δy是(函数的)增量，dy是(函数的)微分

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例题1：06年7.

分析：
法1：画图法
由上图的一元可微图可知，0<dy<Δy

法2：拉格朗日中值定理

答案：A

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导数需要注意的问题：

分段函数分段点的导数：用定义

Ch3.微分中值定理及导数应用

(一) 微分中值定理

1.微分中值定理

费马引理

罗尔定理

罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间 [a,b] 上连续
(2)在开区间 (a,b) 内可导
(3)在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)
那么在开区间 (a,b) 内至少有一点ξ (a<ξ<b)，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$ ：ョξ∈(a,b)，使 f’(ξ)=0

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例题1：13年18.   有两问的问题，考虑把第一问的结果用到第二问上

答案：

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拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足：
(1)在闭区间 [a,b] 上连续
(2)在开区间 (a,b) 内可导
那么在开区间 (a,b) 内至少有一点ξ (a<ξ<b)，使如下等式成立：ョξ∈(a,b)，使得
$$\begin{gathered} f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)(a<\xi <b) \\ 或f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a<\xi <b) \end{gathered}$$

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例：f(a)=f(b),则f’(ξ)=0
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广

拉朗转化功能

①$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$不会操作，转化为$f^{\prime }(\xi )$
②$f(b)-f(a)$不好操作，转化为$(b-a)f^{\prime }(\xi )$
③$f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$不好操作，转化为$(b-a)f^{\prime \prime }(\xi )$

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例题1：880第二章基础大题21 ：拉朗转化功能

答案：

例题2：16年19.   有两问的问题，考虑把第一问的结果用到第二问上

答案：

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柯西中值定理

总结：罗尔、拉朗、柯西 三大微分中值定理的意义

1.三者建立了函数值与一阶导数的联系 $f(x)⇦⇨f^{\prime }(x)$。给函数，证导数 / 给导数，证函数。
【若要研究高阶导数，则需要泰勒公式】

2.三者的关系：$罗尔定理\underset{特例}{\stackrel{推广}{\rightleftharpoons }}拉格朗日中值定理\underset{特例}{\stackrel{推广}{\rightleftharpoons }}柯西中值定理$
但是，拉朗和柯西都是通过罗尔定理构造辅助函数证明出来的

2.洛必达法则

分子分母同时求导。
洛就完了。

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例题：20年9.

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3.泰勒公式

泰勒公式的伟大意义：
①建立了函数值与高阶导数之间的联系： $f(x)⇦⇨f^{(n)}(x)$ 【题目出现了n阶导数，应该要想到泰勒公式】
②用多项式逼近。多项式求极限、求导数、求积分都比较简单。

泰勒中值定理1：佩亚诺余项，局部泰勒公式

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$

佩亚诺余项(用于计算极限)：$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$

泰勒中值定理2：拉格朗日余项，整体泰勒公式

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$

拉格朗日余项(用于证明)：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}（x_0<\xi <x）$

麦克劳林公式

原式	泰勒展开 (写到3阶)
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
$(1+x{)}^{\alpha }$	$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$
$\tan x$	$x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+o(x^3)$
$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2-x^3+o(x^3)$
$\frac{1}{1+x^2}$	$1-x^2+x^4-x^6+o(x^3)$
$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

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例题1：13年1.

分析：$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
答案：D

例题2：16年12. 用泰勒公式求高阶导数$f^{\prime \prime \prime }(0)$

分析：考虑泰勒公式展开

答案：$\frac{1}{2}$

例题3：20年9.

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4.证明函数不等式

https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/128774498

(二) 导数应用

1.函数的单调性

2.函数的 极值

①极值的定义：

设函数f(x)在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任一x，
恒有$f(x)<f(x_0)$，则称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值。
恒有$f(x)>f(x_0)$，则称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极小值。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

②极值的必要条件：

①驻点，即$f^{\prime }(x)=0$
②不可导点，即$f^{\prime }(x)$不存在

③极值第一充分条件 （该点一阶导数是否变号）

设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$内可导
(1)若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)>0$，而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得 极大值
(2)若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)<0$，而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$x_0$处取得 极小值
(3)若$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f^{\prime }(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处 没有极值

④极值第二充分条件

设函数f(x)在$x_0$处具有二阶导数且 $f^{\prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$，则
(1)当$f^{\prime }(x)=0，f^{\prime \prime }(x_0)<0$时，函数f(x)在$x_0$处取得极大值
(2)当$f^{\prime }(x)=0，f^{\prime \prime }(x_0)>0$时，函数f(x)在$x_0$处取得极小值

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例题1：03年7.

分析：极值点是驻点$(f^{\prime }(x_0)=0)$或者不可导点$(f^{\prime }(x_0)不存在)$

从左到右依次为：驻点a，驻点b，不可导点0，驻点c
显然：
①驻点a为极大值点
②驻点b为极小值点
③不可导点0，由极值的第一充分条件，得x=0为极大值点
④驻点c为极小值点

答案：C

例题2：武24 D67   极值第二充分条件：$f^{\prime \prime }(x)>0，极小值$

分析：

答案：B

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3.函数的最大最小值

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例题1：转换目标函数

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4.曲线的凹凸性与拐点

凹凸性

凹：①$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$  ②$f^{\prime \prime }(x)>0$

凸：①$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$  ②$f^{\prime \prime }(x)<0$

拐点

1.拐点的定义：连续曲线的凹弧与凸弧的分界点。即经过该点$(x_0,f(x_0))$，曲线的凹凸性改变了，则该点为拐点。(形象点说，拐点就是曲线增长率由加速变到减速，或由减速变到加速的点。二阶导可以理解为加速度，加速度a变号的点，就是拐点)

2.拐点的必要条件：$f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 或 $f^{\prime \prime }(x_0)$不存在

3.拐点的第一第二充分条件：
(1)$f^{\prime }(x)$ 在$x_0$处改变增减性，即 $x_0$左右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 异号
(2)$f^{\prime \prime }(x_0)=0，f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$

4.极值点 vs 拐点：

拐点的必要条件、第一第二充分条件，就是极值的必要条件、第一第二充分条件抬高一阶

极值点 vs 拐点	区别
极值点是x轴上的点 x=x0	拐点是曲线上的点 (x0,y0)

5.一个点不可能同时为极值点和拐点：若为极值点，则不会是拐点。若为拐点，则不会是极值点。

奇数阶导数不为0：拐点  ；举例： $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=f^{(4)}(x_0)=0,f^{(5)}(x_0)\ne 0$，则$x_0$为拐点
偶数阶导数不为0：极值点  ；举例： $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=0,f^{(4)}(x_0)\ne 0$，则$x_0$为极值点

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例题1：15年1.

分析：
①拐点的必要条件(可能为拐点的点)：f’‘(x)=0或 f’‘(x)不存在。有三个点x=a，x=0，x=b
②拐点的充分条件：f’‘(x)在该点处左右的负号改变，显然排除x=a，剩余两个x=0，x=b满足f’'(x)负号改变，是拐点

答案：C

例题2：11年1.   拐点：曲线的凹凸性改变，且不是极值点

分析：① 穿针引线法：右上穿入，奇过偶不过
②一个点不可能同时为极值点和拐点：若为极值点，则不会是拐点。若为拐点，则不会是极值点。

显然2和4是极值点，不是拐点。排除BD
1点的凹凸性没有发生改变，排除A

答案：C

例题3：武忠祥老师每日一题 24.Day66.   拐点是一个二维坐标

分析： 求拐点：二阶导=0

化简可得$y^{\prime \prime }=\frac{10}{9}{x}^{-\frac{4}{3}}(x+1)$
可能为拐点(拐点的必要条件)：f’‘(x)=0或f’‘(x)不存在
f’‘(x)=0：x=-1
f’'(x)不存在：x=0

充分条件2：f’‘(x)在$x_0$两侧变号，可见y’'在-1左右变号，在0左右不变号。则(-1,-6)是拐点

答案：$(-1,-6)$

例题4：武每日一题Day68

分析：

答案：C

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5.曲线的渐近线

分析顺序：①铅直渐渐线（找无穷间断点）→ ②水平渐近线(双向)→ ③斜渐近线(双向)

铅直渐近线可以有无数条，而 水平渐近线+斜渐近线 最多只能有2条，为x轴的正向和负向

①铅直渐近线

有无穷间断点a，则 x=a 为曲线的铅直渐近线

②水平渐近线

水平渐近线有+∞和-∞两个方向

若有$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=c$ 或者 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=c$
则称 $y=c$为曲线$y=f(x)$的水平渐近线

③斜渐近线

斜渐近线也有+∞和-∞两个方向。有该方向上的水平渐近线，则无该方向上的斜渐近线。即，水平渐近线 + 斜渐近线 ≤ 2

若有$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ 且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)-ax=b$
或者$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ 且 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)-ax=b$
则称 $y=ax+b$为曲线$y=f(x)$的斜渐近线

快速求斜渐近线

$若y=f(x)=ax+b+\alpha (x)，\alpha (x)\to 0【线性函数＋无穷小量】。则y=f(x)有斜渐近线y=ax+b$

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例题1：14年1.

解法1：快速看斜渐近线

解法2：传统方法，一个个求

函数f(x)	铅直	水平	斜
$A：y=x+sinx$	×	×	× 有a无b
$B：y=x^2+sinx$	×	×	× 无a
$C：y=x+sin\frac{1}{x}$	×	×	√ 有a有b
$D：y=x^2+sin\frac{1}{x}$	×	×	× 无a

答案：C

例题2：07年2.

解法1：水平、铅直、斜
斜渐近线用 y=ax+b+α(x)，比传统的求a、b要快

解法2：传统方法
分析：分析顺序：铅直渐渐线→水平渐近线→斜渐近线

答案：D

例题3：

例题4：23年1.

例题5：23李林六套卷(六)13.   极坐标方程求斜渐近线

分析：将x、y用极坐标表示出来

答案：$y=\sqrt{3}x+\frac{2}{3}$

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6.函数的作图

7.曲线的弧微分 与 曲率、曲率半径

曲率 $K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$

曲率半径 $\rho =\frac{1}{K}$

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例题1:23李林六套卷(五)1.

分析：

答案：C

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题型

1.方程的根

1.根的存在性：
①零点定理：连续区间[a,b],f(a)·f(b)<0
②罗尔定理

2.根的个数：单调性

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例题1：零点定理＋单调性

例题2：罗尔定理证明根的存在性

例题3：

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2.不等式的证明

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例题1：拉格朗日中值定理 证明不等式

例题2：单调性 证明不等式

例题3：

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3.中值定理证明题

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例题1：

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Ch4.不定积分

Ch5.定积分

Ch6.定积分应用

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Ch7.微分方程

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