高数微积分

宋浩

奇函数和偶函数：

判断奇函数和偶函数两点
1、x的定义域关于原点对称，是奇函数。关于y轴对称是偶函数。
2、通过这个规则判断。

单调增和减函数：

函数有界 上届和下界：

反函数:
图像：反函数和原函数关于y=x对称

原来的定义域在反函数变成值域，原来的值域在反函数变成定义域
只有原函数必须是一 一对应才会存在反函数。

1.4 数列极限：

研究数列的极限，所以数列都是无穷项的，简称｛n｝

极限： 随着分子分母越来越大，分子分母呀越来越相等 整个式子的值就越接近1

等比数列求和公式：

a1[1-(q)^n]/1-q

极限概念：

存在邻域为0.1，存在任意一项 N（等11项），那么后面的项n（ｎ是Ｎ后面的项，所以ｎ＞Ｎ），n＞Ｎ时，后面的值越来越趋于１

极限定义

证明极限

子数列：

在原数列中抽出几个元素，保证抽取原数列元素顺序不变，这就是子数列。

极限的性质：

1、｛Xn｝集合是收敛的，极限唯一。
2、｛Xn｝集合是收敛的，则有界。(侧重于收敛)

3、一个数列Xn有极限并且趋于a，存在N，当n>N时，Xn>0.

4、｛Xn｝集合收敛于a，任何子数列也收敛于a

推论1：一个极限能找到一个子数列不收敛，则原数列不收敛(发散)。 推论2：找到两个子数列，虽然都收敛，但是极限不同，则原数列不收敛(发散)。
推论3：原数列<=>奇数项，和偶数项构成的子数列都收敛且极限相同，则原数列收敛。

逆命题：找到一个数列的子数列是收敛，则原数列不一定收敛。

1.5函数极限

函数极限的定义：

1、当x趋于正无穷时,a是f(x)函数的极限

证明题：

2、当x趋于负无穷时,a是f(x)函数的极限

3、当x趋于无穷时,a是f(x)函数的极限

4、x趋于有限数,但是取不到有限数，所以是去心的。

例：

5、左极限和右极限

不指明左还是右，那么就是左右极限都存在： 极限存在那么左右极限都存在，并且极限相等。

证明极限不存在：
1、左极限或右极限有一个不存在，那么原来的极限就不存在。
2、左右极限值不相等，那么原来的极限不存在。

例：

函数极限性质：

这几个性质 重要性低

性质4、

一个函数趋于极限a，那么函数的所有点都可以极限a。如果把函数任意抽取成数列，那么需要取整数，因为数列是不连续的。

推理： 重要性一般
如何证明一个函数的极限不存在

1.6 无穷小和无穷大

无穷小
注重变化的过程 x趋于0还是正无穷

朝0逼近的数就是无穷小的

定理1：

有界的数就是一个确定的数：

例：
一般三角函数都是有界的

解题过程： 三角sinx函数在0到1之间.前面x是趋于0。所以sin1/x的极限是0


定理2：了解

无穷大

定理3：

极限的四则运算

前提。
1、两个极限都存在 
2、有限项极限运算

求极限 常数或者与x无关的变量可以提出来

求一个函数n次幂的极限，等于先求函数的极限再求出n次幂

例：
这种情况直接带数



极限的多项式运算：

无穷比无穷（重要）趋于无穷之比

多项式分数形式求解：注意是在无穷比无穷时，分子分母同时比上x最高次数项 。分子分母同次是系数之比，分母次数高就是0， 分子高就是无穷。

例

例

例

例
直接带数是0/0没法算出，那么就需要约掉多项式

例

例

例
求k的值？
0/0型的极限才会出现常数

1.8 极限存在的准则，两个重要极限

夹逼定理：(了解)


定理：（了解）
单调有界必有极限

1.8.1两个重要极限：（重要）

前提：x趋于0

样式

这种变形的极限也是趋于0

例
求极限？

分母配上一个阿拉法，那么分母除于一个，前面再乘回来

x趋于0，那么阿拉法乘于x也是趋于0，所以极限时阿拉法

例2:

n乘于sin2/n,就等于 “sin2/n” / “1/n”, 但是分母需要凑成2/n,所以再乘回来2

n趋于无穷，所以2/n趋于0.最终极限是2
例：

把它当作一个定义：
极限也是1

例：



另一个重要极限：

公式的另一种变形：里面和外面是成倒数

例：

例：

例：


例：
如下图所示的圈起来的(分母)，当x趋于无穷时，利用多项式比多项式最高次数之比是1，就可以去掉。

例
把1/x看成是谁的平方，那么原式就是1/根号x。

1.9 无穷大和无穷小比较

阶级无穷小：

两个极限相比，比值为0，那么分子趋于零的速度更快，是分母的高阶无穷小

两个极限相比，比值为无穷，那么分子要大于分母，是分母的低阶无穷小

等价无穷小替换(重要) 趋于0之比

使用的前提：

分子和分母都趋于0时 （也就是无穷小）。
如果多个式子组合时替换，适用于乘除。

如果是减去一个式子那么这个式子不能用等价无穷小替换，乘除是可以的。
前提两个函数相比值为1

以下结论可以直接用 记住

利用等价无穷小替换类型的题
前提：

例
用等价无穷小替换，首先分子和分母都是无穷小

例：

1.10函数的连续（一）

两个改变量：x的增量和y的增量

连续：它的图像是连着的

连续的定义：

式子变形 在Xo处有定义

连续的条件， 重要

连续的左右极限相等都等于函数值

左连续 ：

Xo是点2，那么是在2点的左侧向2逼近。

如果函数不连续那么就是断开的

间断点四类：

不连续则间断。



把这个点去掉


连续与间断的例子
已知x>0,在x=1时，问是不是连续，如果不是那么是第几类间断点。

1.10函数的连续（二）

两个连续的函数 运算也是连续的


例
问ab是什么值，已知在定义域内一定是连续的。
注意：连续的左右极限相等都等于函数值
重要 求x分别在1和0除的极限，就可求出a和b的值

选择或者填空题 一般
例
重要

例
例4中，ln1就是0，e的0次方才是1。该题是0比0型，后面直接用洛必达即可。

例
lne就是1

结论：函数在一个闭区间上，那么具有以下性质。

推论：重要

零点存在定理

也就是说函数过零点那么y值一定会在上下两侧。

2.1 导数

求导需要存在极限
分别研究x改变量和y的改变量变化的快慢
如图两个函数 x改变量比上y的改变量是不相等的

了解用导数的例子：变速运动的瞬时速度、曲线上求一点的切线以及最大值最小值。

导数的定义：
f(x)的改变量比上x的改变量

做题用到这个表达式

简写公式：

导数的四种符号

四种方式可能都会出题

导数的几何含义：

当x改变量越来越趋于零时，切线就越倾斜。
也就是x趋于0，求函数的切线斜率，也就是导数。

了解：

导数公式

背结论 ：考试直接用 重要 求导法则

导数的意义：
导数方程

曲线的切线方程和法线方程的求法
导数定义：x改变量趋于0， y改变量比上x改变量的极限存在。

例
求这个函数在(1, 1)处的切线和法线方程
重要

2.2.1 通过左右导数证明导数存在

可导的充要条件是左、右极限存在且相等

例
问是否可导？

2.1.5 可导和连续的关系

可导必然连续。但连续不一定可导

函数图像想要可导 那么必须光滑的。连续的几何含义是一笔画成。因为光滑就一定是一笔画的，所以光滑比一笔画强。

例
求该函数的导数
在这0点是连续，但是不可导

2.2 求导法则 重要

重要
前提是 这两个函数在x=0，可导。

例

相乘求导

如果有一个c是常数 常数(系数)求导是零

例

相除求导

例

2.2.1 反函数的求导法则

反函数的导数等于这点原函数导数的倒数

例：

2.2.2 复合函数求导 重要

与两个式子相乘求导的区别：相乘求导是每个式子都有x变量，
使用复合式函数求导的情况是一个x变量,被多层式子套住，套娃。

剥洋葱法则

核心是看x的包含关系，是否被包在最里层，如果两个x那么需要看两个x都被包住的函数。
例：
最外层是lnsinx，里层是sinx。然后带入公式逐个求导再相乘。

例：思路 谁的5次方是最外层求导，谁是里层(1+2x+3x^2)求导，再相乘
最里层两个x的式子，不涉及套娃，不用复合函数求导。

例
外层是x/2乘根号，第二层是根号里的 a^2 - x^2
先用这个公式：

这里注意a是常数，那么a方求导就是0。并且方框里是复合函数的求导(洋葱法则)
注意最里层是 -x^2

例
最外层“ln谁”，再往里层“sin谁”，同理再往里“cos谁“，最里层”谁的平方“。

例：

2.4 高阶导数

一个函数的求导后，对求导后的式子再求导。

例
求该式子三阶导数



重要

2.5 微分（一）

算y改变量时，需要用y改变之后减去改变之前的值，如果直接带数不好算，所以需要用微分

Xo为边长的正方形，边上增加x，那么整个正方形的面机就和如下式子。计算它增加的面机就是现在的面机减去原来的面机，当x的长度趋于0时，那么右上角的小三角形的面积可以忽略不计。

注意：Xo是固定的
定义：

函数可微就可导，可导也可微，并且A是导数

重要

微分公式：重要

导数乘以dx也就是微分公式

例

几何意义：

y的改变量近似等于，x的改变量乘以该点的斜率，(也就是dy），

Xo是确定的

微分四则运算

和导数四则运算一样 一起背

例
求微分

另种解法

例

例

例
重要

例


例
隐式函数，无法用y=x的方式表示，解题思路。


解2

实际应用：近似计算公式

例：

近似计算八个公式

由这个式子推到下面8个公式：

3.1 微分中值定理

---

费马引理：驻点，以下三种都是驻点

---

费马引理理解：Xo是常数，任意取一个x都是小于Xo的所以它是最大值，即驻点，导数为0的点。

罗尔定理：

如图最上面点的切线是水平的，也就是说导数为0，驻点。
符号：可赛

拉格朗日中值定理：

y的变化量等于x的变化量乘以”可赛一点“的导数(斜率)

如图，一定能找到一个点的斜率等于 ab两个点连线的斜率。


柯西中值定理：

两个函数y的改变量之比等于两个函数中”可赛一点“导数之比。

中值定理（二）泰勒定理 太复杂 不用学会


Xo变成0就是另一个公式：

3.2 洛必达法则 重要

洛必达法则满足条件可以多次求导，每步只有是0/0或无穷比无穷的情况下才能用洛必达法则。

解决求极限问题，解决这两种

1、0/0型。两个函数都趋于0，求两个函数相比的极限，就等于两个函数求导相比的极限。

洛必达法则需要多次应用，也就是多次求导

例

2、无穷/无穷 本质一样和0/0

总结：
sinx使用等价无穷小只有乘除可以用

不能用洛必达的例子：

如下几种多项式的形式都可以转成0/0，和无穷/无穷。可以使用洛必达

3.3 函数的单调性和凹凸性

在一个区间 如果求导大于零或个别点等于零，那么就是增函数

需要先看定义域，如例2


驻点：是一阶导数等于0的点
导数不存在也就是定义域没有定义。

找分界点



凸凹性
通过图像判断
定义：曲线和直线的中点哪个高

通过导数判断：
凹函数的二阶导数大于0，反之

拐点的两侧二阶导数不同号（凸凹性改变）

例

例：重要 拐点

3.4 极值与最值

极值是在邻域里，所以是局部的。 最值整体的概念
左导数大于零，右小于零是极大值。反之极小

定理：

一阶导数等于0是驻点
选择题：

定理：判断极值点

求极值思路：

例


定理 了解

最值：

找最值在这三个点找即可

3.5 函数作图

x是变量
x -> ∞,水平渐近线函数是趋于x轴，极限值是常数
x -> 0,垂直渐近线函数是趋于y轴，极限值是∞。特征：找分母为零时的点为分界线求。
x -> ∞,斜渐近线函数是趋于一条直线

例：x趋于无穷，0是该函数的水平渐近线

---

记住以下两个公式

	f(x)接近a1x + b1,那么f(x) - (a1x + b1)趋于0.则f(x) - a1x - b1趋于0，f(x) - a1x趋于b1。

斜渐近线以下两种公式，目的求出a1和b1的值，然后得到直线方程。第一步用1)先求a1，再把a1带入 2) 方程中求b1


例：求渐近线
求垂直渐近线时，令分母为0求。

函数作图的步骤
看第三步和第四步即可。

例：重要


例：

1、需要给y求极限，有极限（不是无穷）那么就有水平渐近线。
2、定义域有间断点，间断点的导数是否为无穷大，如果是，那么就有垂直渐近线。

4.1 不定积分

原函数与不定积分的概念及其关系

积分解决的问题：根据导函数求出原函数，也就是求积分
理解：
给了导函数求出原函数是什么（求爸爸）。 之前我们都是根据一个函数求导（求儿子），现在利用积分反过来求

定义：

求积分步骤，已知导函数求原函数。导函数的基础上变化规则。x变成：”x的指数加1“，x前面的系数变成：”指数加1后的倒数“。

当结论记住

几何含义：

不定积分性质：
原函数求导–>求儿子
导函数利用积分–>找爸爸
”我“永远是f(x)

积分基本公式：重要
重要的如图所示

例

4.2 积分法

不定积分第一换元法

第一换元积分法：重要。也叫凑微分，把d前面的导函数凑成d里面原函数。

例

---

例

d里面相乘的系数可以写在d里面和外面都可以
积分符号中相乘的系数可以拿到积分符号外。
d里面的乘以一个系数，可以通过在积分符号外面再配系数，使原式子值不变。

凑负号

加一个1

这样相当于(1-x^2)的二分之一次幂，求原函数。

---

例

例

例

这是一个公式记住结果。

---

---

当作结论记住，了解。

当成结论记住。三角函数的求积分，如果是奇数次的 就变成偶数乘奇数形式，如果是奇数就用被角公式。

这里注意(1-cosx)中的1是不能提出去的 只有常数是乘除才能提。




积化和差公式是初等数学三角函数部分

以上例题的总结题型：

第二换元积分法

主要的特点是带根号的式子

公式：

分步积分法 重要

优先级

 x和sinx，那么把sinx拿到d的后面x和e^x ，e^x 往里拿x^2和e^x ，e^x 往里拿x和lnx ，x 往里拿

积分式中d的前后相乘减去d前后换位就等于原式。一般分步之后d里面的再拿出来。


选择简单的方式，否则越来越复杂。这个例题可知 如果有x和sinx，那么把sinx拿到d的后面

x和e^x ，
e^x 往里拿

x和lnx ，
x 往里拿

这个例子当公式记住就行

例


再用一下分步积分

例

4.3 有理函数积分

有理数积分函数都是把前两种化成第三种，然后用方法做。分子低分母高也叫做真分式

真分式做法

第１类题目：分子是１，分母是二次函数

ｂ＾２－４ａｃ　＝０

待定系数法
ｂ＾２－４ａｃ＞０
Ａｘ和Ｂｘ应该消掉，所以系数相加等于１

ｂ＾２－４ａｃ＜０没有实根，需要先配方

令ｘ＋１＝ｔ


以上三种解题方法固定
第二类题目：分子是一次，分母是二次
ｂ＾２－４ａｃ＝０

ｂ＾２－４ａｃ＞０

ｂ＾２－４ａｃ＜０

复杂类型

第一类
如下这几种是第一类，那么分子假设是常数

第二类：分子假设是一次的

5.1 定积分

定积分有上下限
”sei可ma“求和

定义：

注意：

什么情况是可积的 了解 有限个间断点不能少 否则错误

了解

矩形法

梯形法：
上底加下底乘高除以2

定积分的基本性质：重要

---

---

面积就等于b-a的值，因为长方形另一个边的长度是1.

推理：

微积分基本定理

积分变限函数求导，x是变动的，那么面积会随着x的变化而变化。

积分上限函数 上限定积分求导的方法

上限是变化的


重要结论：p’(x)=f(x)

第一种：上限是x（下限是常数），求导，直接往里带入x即可

积分下限函数

第二种：下限是x求导（上限是常数），直接往里带入x，加一个负号

积分上限是复合函数

第三种：上限是x的函数，复合函数
第一步上限函数x的函数直接带进去，第二步x的函数对x求导，再相乘

定理

第五种，总结以上四种 重要：

总公式：先把上限带入再乘以上限求导，把下限带入再乘以求导，相减。

例
x趋于0，也是趋于0，0到0区间求定积分也是0.。所以这是一个0/0型。用洛必达

例：分析三个变量
分子和分母都是趋于0。

思路：设中间的式子为sinu，因为里面的的求定积分是u的函数

解题：
现在上限是x，求上限x的积分直接带入中间式子中（是u的函数），u的地方变成x

牛顿-莱布尼茨公式

前言：不定积分是原函数的全体，定积分是图形的面积。这个公式把这两个连系起来，左边是定积分右边不定积分。
思路：先求原函数，再把上限和下限带到原函数相减，求积分

例：

先求原函数

例

例

定积分的换元积分法

原理：
上下限范围需要根据换原后的变量做调整

换元时上下限也一起换
例：换元求积分


例：


这个题结果直接记住就行

重要：必须是-a到a有限，如-1到1

性质

例：重要 结果没写
-1到1关于远点对称

例：n是正整数 证明

例：考研的题目类型。x是积分内部是常量，在整个式子中是变量。t和u都是变量

定积分的分步积分法

例


答案：5ln5 - 4
例
答案：

使用分步积分法的思路：谁求原函数往d的里面拿(重要)

优先级
例

定积分应用

直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋

转所生成旋转体的体积。

求面积 一定会考 重要

图像的边界垂直于哪个轴就是哪种图像

例
x型

步骤 重要
拿尺子垂直于x轴从左边向右边，看上边的函数是不是一直在上边，下边的是不是一直在下边，如果变了就需要再写一个定积分公式。

例
x型

图像关于y轴对称，是一个偶函数，那么求y轴一侧的图像乘以2即可。

因为左右对称，是两倍的面积

例
y型
尺子垂直于y轴从下而上，看左边函数是否一直在左边，右边函数也同理。如果变了就需要再写一个定积分公式。
函数表达式需要改成关于y的表达式

求体积

公式：
绕着x轴产生的物体

绕着y轴产生的物体

例

例

定积分-求经济应用问题

贴现值


收益问题
离散型

连续型

例

广义积分- 第一种无穷限积分

无穷限积分，分为上限、上限或下限是无穷和上下限都是无穷。如果极限存在就收敛，不存在就发散的

例 推理 了解

---

定义：广义-牛顿-莱公式重要。以上的是推导，记住这个公式

可以直接把无穷带进去，看极限存不存在。做题直接用

---

推导过程 理解

例

例
证明是不是发散

例
记住结果即可

性质

无穷限积分也能用这两种方法

定理

例
证明该函数是收敛的。答案是收敛的。

性质
绝对收敛，条件收敛的定义。
可推出定理

解释：取绝对值是收敛的（也就是取正的都是收敛的），那么原函数中有正有负，会抵消一些，就会更加收敛。

广义积分- 第二种，瑕积分

函数在某个位置没有定义，如果把这个位置去掉就能求积分
第一种

第二种

前两种是在两边端点没有定义。第三种是在中间的点没有定义
第三种

例


例
x=0时，分母为0.所以需要按瑕积分处理
先记住结果

例
x等于1时，分母为0没有定义，是一个瑕积分

嘎玛函数

如何判断嘎玛函数。
几个特点：

1、0到正无穷。
2、e^-x。
3、x的几次方。

判断出嘎玛函数就能用公式：

空间解析几何

三维

记住公式：两点确定一条直线 重要

平面方程 重要

球面方程

从给定点到r的所有点的集合

球心为原点时，球的方程边变为

上半球面和下半球面

柱面

柱面不一定是圆的，也可能是不规则。
圆的面积和Z是没有关系的。

旋转抛物线

双曲抛物面

多元函数基本概念

邻域和内点或边界点 了解

二元函数：

自变量是x和y，因变量是z。

例
求定义域


二元函数的极限与连续的定义
二元函数的极限 重要
二元函数的极限是以多种方式的点以任何方式向Xo,Yo逼近。

证明二元函数极限不存在
思路找两种逼近方式，如果两种不同的方式求极限不一样就不存在。
例
第一种方式沿着x轴逼近极限点的。第二种是沿着y=x一次函数。

例
第一种方式沿着x轴逼近极限点的。第二种是沿着y轴。

例

求二元函数的极限
例
利用重要极限

例
趋于0乘以有界的，极限还是0

例


例

二元函数的连续性
二元函数连续的几何意义是，一张纸不能有洞，不能撕开。如果把纸蹂躏成麻麻癞癞也是曲面，但是在某些点是不可导的，就涉及到偏导数。

偏导数

二元函数一阶偏导数和全微分的概念
偏导的定义：
一元函数的求导是y变化量比上x变化量。二元函数的求导叫偏导数。因为有两个自变量，那么就是z变化量比上x和y变化量，我会看成是其中某一个自变量(x或y)改变而引起z的改变，所以叫偏导数。


求偏导规则： 二元函数的一阶、二阶偏导数的求法
对一个自变量求导，把另外一个变量当作常数(看成无关的)。

出题类型1：求在某点的偏导数，用偏导的定义做。
出题类型2：求在某点的偏导数，先求函数整体的偏导数，再把这点带进去
出题类型3：求一个正常的偏导数，求对x，对y的偏导数。
例
类型3

类型2 求该函数在(1, 3)点的偏导数

例
该函数在(0,0)处的偏导数

注意：二元函数中偏导存在不一定是连续的。
偏导的几何意义
曲线

二元函数的一阶、二阶偏导数的求法
二阶偏导

二阶混合偏导，如下图求偏导一共有四种形式，中间两个的形式叫做二阶混合偏导数。

表示先对x求一次，再对y求一次。也就是二阶偏导

全微分

二元函数一阶偏导数和全微分的概念
定义：


三元的求可微

定义中的A和B就对应对x求偏导和对y求偏导。
偏导存在只是可微的必要条件不是充要条件

可微的充要条件
在定义域中有连续的偏导数

可微、可导、连续三者关系

二元函数全微分的求法
例
求全微分
近似计算
公式推导


例

例

多元复合函数求导

1.学会画图，找线。

例
标准算法

直接简单的式子直接带入也可以

特例
z对x求导因为只有一个变量所以不是偏导，求导即可

三元以上

什么情况求导或求偏导
练习

例



例 有难度 了解

隐函数求导

定理及推导
表达式F(x,y)=0 (右边需要等于0)，y是x的函数，我们要求y对x的导数
交叉对应

解决这类函数的求导。

例

二元隐函数求导 了解
例
F是xyz的函数，并且z是xy（两个）的隐函数，二元隐函数

例
解1
注意：F是xyz的函数

解2
注意：这种方式xy是z的函数

二元函数极值

极值

极值的必要条件及证明

极值的充分条件
在(Xo,Yo)邻域内具有一阶和二阶的连续偏导数
B是对x和y分别求偏导，在(Xo,Yo)处的取值。
B^2 - AC < 0，有极值。A<0是极大，反之极小。

例
两种解法

最值

实际问题用最值

例

无条件和条件极值
无条件极值就是上面例子中的求出偏导数，使偏导数等于0

条件极值的拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法
解决带条件的极值问题

多条件时

例

例

例

结果

二重积分的定义和性质

概念 了解

几何意义 了解

性质 了解
sei可马符号是表示面积



二重积分中值定理 了解

二重积分的计算 （直角坐标系）

直角坐标系下的二重积分计算方法
重要

每一个横切面都推到z和y形成的面，所以可以看作是对y求积分，把x当作常数。

对y求积分，把x当作常数求积分(一个横截面)， 再把上下限（是x）带进去，所以中间大括号只求x积分，最后把整个上下限带进去。

x型
先看后边的公式求(对y)积分，把上下限(关于x的函数)带入（分别求积分相减），所以后部分只跟x有关。再把求出来积分(后半部分)带入前面

y型
先看后半部分，对x求出积分(y看成常数)，上下线(是y的函数)带入该积分，带入之后就只跟y有关。求出来再带到前面对y再求定积分

例
求在区域D，xy的二重积分？
做题步骤：按照x型做
尺子由左到右，x从0到1,那么先写出。再把上面的函数(y=1)放到上限，下面(y=x)放入下限,再把被积函数写上(xy)。如下结果

按照y型做：
尺子由下向上，需要先看左边的函数是谁(x=0)，(注意y型需要写成关于y的函数)左边是下限，右边的函数是谁(x=y)写成上限

例
先算出两个函数与x轴y轴的交点算出来
按x型算

按y型算

例
首先是画图需要画正确

特殊的二重积分


例
注意：这种例子用x型求不出来，只能用y求。

结果推导
再用分步积分相乘交换

二重积分的计算（极坐标）

极坐标和直角坐标的区别
在极点规定一个方向叫极轴，在极点由极轴逆时针向上扫射，直到扫射到需要的位置，这个位置到极点的距离就是极径(ρ)。那么得到的ρ和形成的角度就能确定一个点。

规定定义域

一些点的极坐标表示

有些二重积分在直角坐标不容易积，所以需要极坐标

给一个阴影区域用极坐标表示


特殊的 ρ是变化的，找到做长的就是直径


极坐标表示射线和直线

直角坐标和极坐标的转换关系 重要

二重积分的定义写成极坐标的表达形式 重要，

根据积分区域不同用极坐标表示
三种


用极坐标求二重积分做题思路

步骤 重要

例

记住结果

例


例


适合用极坐标的形式

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分离常数法：

绿色框是纠正上面笔记。

绝对值不等式：

二次不等式：

两个方法，配方法和因式分解法

倒数不等式：

均值不等式：

说明（3）:如果式子中有倒数乘于一个数，就应该想到是两个数相乘，
例1：
两个式子相加 如果相乘可以约掉变量，用第二个公式。

例2：将根号里面提出一个4，两项都除以4
根号下有两个式子相乘，那么就可以用如图的公式进行转换变成两个数相加除以2.

幂的运算：

例2：系数分别相乘除，同底数幂为a的（a^{*）和同底数幂为b的（b}*）分别相乘除

对数运算

二次根号就是根号，只是缩写了2

函数：

一次函数

二次函数

一般式

顶点式

两根式

例：后面项(5 - x)，就提出来一个-1

反比例函数
了解： 关于原点对称，在一三象限，经过(1,1), (-1,-1)两个点

函数定义及解析式求解：

复合函数

分段函数

换元法

函数定义域与值域求解

定义域的求解

值域的求解

值域就是y的值，y的最高点是5，那么取值范围就是(5,+无穷)

反函数

五大基本初等函数

幂函数

所有的幂函数都有一个公共的特点，就是过(1,1)点

指数函数与对数函数

三角函数

常见的三角函数公式

反三角函数

初等函数

复合分拆
由外到内 使用变量进行替换变量

函数的四个属性

极限

x在左侧或者右侧，无限趋近于Xo时，求该函数的极限

x趋于1，x的平方不一定区域1。但是x趋于无穷，那么x平方一定趋于无穷。

求左极限和右极限是否是相等的
以下解题中就相当于设一个数是小于零，它的值是多少。0减就是小于零的数。

极限的运算

函数的四则运算

这是上方运算法则(4)的例子

常数除以一个无限接近0的数，那么结果就是无穷

复合函数的极限

基本未定式的极限

抓大放小。当x趋于无穷值时，变量多个次幂，就比较最高即可算出极限


课堂练习
先分析类型

无穷大和无穷小

当极限为0时，就是无穷小

无穷小的比较

只适用与乘除

夹逼准则

适用于数列求和运算。
该数列既不是等差数列也不是等比数列，先放缩最小 再放缩最大，那么中间的就可以用夹逼准则

思路：
先缩小的话，就让分母越大那么整个式子值最小。因为n趋于无穷，所以只能动分母的i，这时让i取n的话分母也就更大。这时分子应该取最小，整个式子越小，分子i + i/n, 因为n趋于无穷那么i远远大于i/n, 抓大放小的话i不要动，时i/n最小，所以i取1就是1/n。
放大思路反之。

等差数列