高数
第一章 数列 函数 连续
函数
如果对于每个数x属于D，变量x按照一定的法则总有一个确定的y和它对应，则称x是y的函数。
记为y=f(x)。常称x为自变量，y为因变量，D为定义域
极限
极限类别
数列极限
设为数列{an}，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当时有|an-a|＜ε则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限
若数列没有极限，则称不收敛，或称发散。
几何意义
当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N个）在其外,如图1所示
性质
唯一性
若数列 {an}收敛，则它只有一个极限。
有界性
若数列 {an}收敛，则 {an}为有界数列，即存在正数 ，使得对一切正整数n有|an|＜M；
保号性
极限＞0，则保数列严格大于0；
丢帽丢等号
数列≥0，则极限大于或等于0；
戴帽带等号
函数极限
对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 δ，使得当x满足不等式 0<|x-xº|<ε时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε： ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→xº。时的极限。
几何意义
性质
唯一性
若数列 {an}收敛，则它只有一个极限。
局部有界性
若数列 {an}收敛，则 {an}为有界数列，即存在正数 ，使得对一切正整数n有|an|＜M；
保号性
极限＞0，则保f(x)在该领域严格大于0；
丢帽丢等号
在某领域f(x)≥0，则该领域函数的极限大于或等于0；
戴帽带等号
极限存在准则
夹逼准则
单调有界
单调增加，寻上界
单调减少，寻下届
无穷小
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
无穷大是指绝对值大于任何数的函数，因此负无穷不是无穷小，而是无穷大。
性质
有限个无穷小量之和仍是无穷小量；
有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
有界函数与无穷小量之积为无穷小量
常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
无穷小的比较
高低阶
同阶
等价
无穷小的阶
比较常用方法
洛必达
泰勒
等价无穷小代换
无穷大
无穷大是指绝对值大于任何数的函数，因此负无穷不是无穷小，而是无穷大。
常用的一些无穷大量的比较
无穷大量的性质
两个无穷大量的积仍为无穷大量，即∞·∞=∞
注意：有界×∞≠∞
0·∞属于未定式
无穷大量和有界变量的和仍为无穷大
无穷大量与无界变量的关系
无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量
无穷大量与无穷小量的关系
在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小；反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)是无穷大。
常考题型
极限概念、性质及存在准则
求极限
无穷小量阶的比较
求极限
常用方法
利用有理运算法则求极限
加减分开的前提条件是分开的极限均存在
1.存在＋存在=存在
2.存在+不存在=不存在
其他未定；
可以推论到极限、连续、导数、级数；
存在+不存在=不存在；
不存在+不存在=不一定；
存在×不存在=不一定
不存在×不存在=不一定
乘法：如果有一因子极限不为0，则可以用该极限替换
即极限非0的因子的极限可先求出来
除法分母不能为0，若极限存在，分母的极限为0，则分子的极限也为0，视为同阶
除法形式的极限存在，且极限不为0，分子极限为0，则分母需要和分子同阶无穷小，得分母极限为0
利用基本极限求极限 

1^∞型极限常用结论

利用等价无穷小代换求极限
乘除关系可以换，加减慎换；加减考虑泰勒公式即麦克林公式的应用

利用洛必达法则求极限
1）两者极限趋向0或者∞；
2）两者在趋向的可去的领域内均可导即导函数连续，且分母的导函数不为0
3）洛必达后极限存在或者为∞；（若不存在则洛必达失效 

适用类型：0／0，∞／∞；
∞-∞;通分化成0／0，∞／∞
0·∞
倒代换一因子换成0／0，∞／∞
1^∞
∞^0
0^0
采用e^ln法化成0·∞
利用泰勒公式求极限
佩诺亚余项
极限
麦克劳林公式

极值
拉格拉日余项
不等式
最值
利用夹逼准则求极限
利用单调有界准则求极限
利用定积分定义求极限
级数求和（数二不要求）
利用拉格朗日中值定理求极限
多用于求数列的n项数列
如何判别何时用定积分何时用夹逼定理
N项乘积取对数化积为和
级数求和
证明收敛求极限方法
单调有界
证明单调
辅助函数法（递推关系）
函数X（n+1)=f（xn）单调增，数列Xn单调，x1<x2,Xn单调增；x1>x2,Xn单调减
函数X（n+1)=f（xn）单调减，数列Xn不单调
xn/xn-1与1相比
xn-xn-1与0比
证明有界
常见不等式
夹逼准则
放缩法
见根号乘积想起算术平均数大于等于几何平均数
直接证明法 
单调性的判别方法
曲线的凹凸性与拐点
区间I连续，f((x1+x2)/2)与[f（x1）+f(x2)]/2比大小
＜，函数的图形为凹
＞，函数的图形为凸
拐点：连续曲线上的凹凸分界点
拐点二阶导数为0或者不存在，且两侧凹凸性不同
渐近线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
连续性
连续性的概念
函数定义存在
极限存在即左极限=右极限
极限值=函数值
间断点及其分类
第一类间断点
左、右极限均存在的间断点
可去间断点
左极限不等于右极限
跳跃间断点
左极限不等于右极限
第二类间断点
左、右极限中至少有一个不存在
无穷间断点
振荡间断点
其他第二类间断点
连续性的运算与性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
连续函数的复合仍为连续函数
基本初等函数在其定义域内是连续
初等函数在其定义区间内是连续
注意区分定义域和定义区间
所谓定义区间，是指包含在定义域内的区间
闭区间上连续函数的性质
有界性定理
函数在闭区间连续，则函数有界
最值定理
函数在闭区间连续，必有最大和最小值
介值定理
函数在闭区间连续，且两区间的函数值互不相等，则取得两端的函数之间的值
推论：若f(x)在[a，b]连续，则(x)在[a，b]上可取到介于它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值
零点定理
若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则必ョξ∈（a,b)使得f(ξ)=0.
