世界坐标、相机坐标、图像坐标、像素坐标的原理、关系，并用matlab仿真

照相机是日常生活中最常见的。它能把三维的空间图片等比例缩小投影在照片上，称为一个二维图像。

以下我们就讲一讲原理，并相应的进行matlab仿真。

在学之前，先要了解几个概念：

什么是世界坐标？
- 也就是真实世界的立体空间坐标，是一个三维坐标系
- Ow-XwYwZw ：世界坐标系,描述相机位置,单位m
什么是相机坐标？
- 根据透镜成像原理，将世界坐标在照相机内呈现，是一个三维坐标系
- Oc-XcYcZc ：相机坐标系,光心为原点,单位m
什么是图像坐标？
- 将相机呈现的三维坐标投影到屏幕上，而建立的新坐标系，不含高程信息，是一个二维坐标系
- o-xy ：图像坐标系,原点为成像平面中点,单位mm
什么是像素坐标？
- 将投影的图像坐标离散抽样形成的做种图片，是一个二维的坐标系
- uv ：像素坐标系,原点为图像左上角,单位pixel

所以步骤流程就是：

- step1：将世界坐标转化为相机坐标，等比例缩小，外加旋转平移，称之为刚体变换；
- step2：将相机坐标转化为图像坐标，称为投影
- step3：将图像坐标离散抽样

模型如下图所示：

step1：构造rigbt()函数

世界坐标转化为相机坐标模型如下图所示：

从世界坐标系变换到相机坐标系属于刚体变换：即物体不会发生形变，只需要进行旋转和平移。

R：表示旋转矩阵

T：表示偏移向量

接下来分析旋转和平移

坐标轴绕z轴旋转 θ=Theta（希腊字母读法，编程用的到），其几何模型如下图所示：

公式满足：

矩阵形式为：

同理，绕x、y轴可以写成：

所以刚体变化中旋转变换R=R1R2R3。

平移矩阵T，则刚体变换可以写成：

进一步转化，可以写成4阶矩阵：

R矩阵是一个3×3矩阵，T是一个3×1矩阵，RT是一个4×4矩阵。

matlab 仿真：

function [RT] = rigbt(Phi, Psi, Theta, x0, y0, z0)
%刚体变换函数:rigid body transformation
%输入参数：
%   φ=Phi       绕x轴转动的角度
%   ψ=Psi       绕y轴转动的角度
%   θ=Theta     绕z轴转动的角度
%输出参数：
%    RT 将坐标轴进行刚体变化（旋转+平移）成新的坐标轴
%
%% 程序
R1 = [1 0 0; 0 cos(Phi) sin(Phi); 0 -sin(Phi) cos(Phi)];%绕X轴旋转
R2 = [cos(Psi) 0 -sin(Psi); 0 1 0; sin(Psi) 0 cos(Psi)];%绕Y轴旋转
R3 = [cos(Theta) sin(Theta) 0;-sin(Theta) cos(Theta) 0; 0 0 1 ];%绕Z轴旋转
R = R3 * R1 * R2;%旋转矩阵（刚体变换一部分）
T = [x0; y0; z0];%平移矩阵
RT=[R T;0 0 0 1];%刚体变换矩阵
return

step2：构造proj()函数

相机坐标投影成图像坐标，几何模型如下图所示：

几何关系（相似）满足：

即：

代入：

写成矩阵形式：

matlab 仿真：

function [Projection_Matrix] = proj(f)
%相机坐标投影(projection)成图像坐标
%输入参数
%   f                   相机焦距（数，cm）
%输出参数
%   Projection_Matrix   投影成像（矩阵）
Projection_Matrix = [f 0 0 0; 0 f 0 0; 0 0 1 0];
return

step3：构造pixel()函数

xoy是图像坐标； uo_{uv}v是像素坐标； (u0,v0)是像素坐标的中心； p(x,y)是图像中的任意一点。

模型如下：

将x、y分成n份，每份长度为dx、dy。

则几何公式为：

转化为矩阵形式：

matlab仿真:

function [Pixel_Matrix] = pixel(dx,dy,u0,v0)
%图像坐标离散化，转化为像素坐标
%输入参数：
%   dx      x轴方向上分辨率，像素大小
%   dy      y轴方向上分辨率，像素大小
%   (u0,v0) 参考坐标，图像平面中心
if nargin==2u0 = 0;v0 = 0;
end
Pixel_Matrix = [1/dx 0 u0; 0 1/dy v0; 0 0 1];
return

step4：前三步整合

公式中， fx=f/dx,fy=f/dy。

matlab 主程序

% 将世界坐标转化为像素坐标的参数
%% 程序
clear all;close all; clc;
% 参数
Phi = pi/4;%绕x轴旋转角度
Psi = pi/4;%绕y轴旋转角度
Theta = pi/4;%绕z轴旋转角度
x0 = 0;%x平移量
y0 = 0;%y平移量
z0 = 0;%z平移量
f = 35e-3;%35mm相机
dx = 0.026;%一个像素的长
dy = 0.026;%一个像素的宽
u0 = 0;%图像平面中心
v0 =0;%图像平面中心%% step1:将世界坐标转化为相机坐标，等比例缩小，外加旋转平移(刚体变换)
RT = rigbt(Phi, Psi, Theta, x0, y0, z0);%刚体变换矩阵%% step2:将相机坐标转化为图像坐标(投影)
Projection_Matrix = proj(f);%投影矩阵%% step3:将图像坐标离散抽样
Pixel_Matrix = pixel(dx,dy,u0,v0);%1像素＝0.635厘米÷24≈0.026458厘米
%% 数据整合
Camera_Internal_Parameters = Pixel_Matrix * Projection_Matrix;%相机内参数
Camera_External_Parameters = RT;%相机外参数
%清除不用的变量
clearvars -except Camera_Internal_Parameters Camera_External_Parameters
%相机参数
Camera_Parameters = Camera_Internal_Parameters*Camera_External_Parameters 
clearvars -except Camera_Parameters%清除变量

仿真结果：

扩展：

实际应用中，往往将上面的主程序main制作成一个相机参数函数camera_ parameters()，更有利于调用。可以用下面相机参数函数一个代替上面的main程序。

matlab 仿真

function [Camera_Parameters] = camera_parameters()
% 将世界坐标转化为像素坐标的参数(相机参数矩阵)
% 参数,可以省，省去的话，必须设置相应的入参
Phi = pi/4;%绕x轴旋转角度
Psi = pi/4;%绕y轴旋转角度
Theta = pi/4;%绕z轴旋转角度
x0 = 0;%x平移量
y0 = 0;%y平移量
z0 = 0;%z平移量
f = 35e-3;%35mm相机
dx = 0.026;%一个像素的长
dy = 0.026;%一个像素的宽
u0 = 0;
v0 =0;%% step1:将世界坐标转化为相机坐标，等比例缩小，外加旋转平移(刚体变换)
RT = rigbt(Phi, Psi, Theta, x0, y0, z0);%刚体变换矩阵%% step2:将相机坐标转化为图像坐标(投影)
Projection_Matrix = proj(f);%投影矩阵%% step3:将图像坐标离散抽样
Pixel_Matrix = pixel(dx,dy,u0,v0);%1像素＝0.635厘米÷24≈0.026458厘米
%% 数据整合
Camera_Internal_Parameters = Pixel_Matrix * Projection_Matrix;%相机内参数
Camera_External_Parameters = RT;%相机外参数
%相机参数
Camera_Parameters = Camera_Internal_Parameters*Camera_External_Parameters;

仿真结果：