Deep Hashing Network for Efficient Similarity Retrieval AAAI 2016
源码：https://github.com/zhuhan1236/dhn-caffe

与上一篇文章类似，通过设计损失函数，使得最后全连接层的输出分布近似于二值{-1，+1}分布。不过这篇论文从理论上说明了为什么这样设计损失函数。

哈希方法的目标是得到二值编码，所以优化过程中经常会遇到离散取值的约束，因此通常来说无法使用基于梯度的方法对目标函数进行优化。为了简化问题，通常的做法是改用一个更宽松的约束，比如不再要求“二值码”是二值的，而是只要在一个规定的范围中即可。优化结束后，再对松弛过的“二值码”进行量化，得到最终的真二值码，深度哈希算法通常采用这种做法。

松弛（Relaxation）带来的问题

用论文中的话说：1、控制量化误差，如果最后一层的输出是任意分布的话，强制二值化成{-1，+1}，显然会造成很大误差。论文用实验证实了这一结论。2、一般的会使用内积近似代替汉明距离来衡量图片之间的相似度。因为汉明距离只适用于二值码，而最后一层的输出为连续实数。对于一个二值码{-1，+1}，汉明距离与内积有如下关系：

$$dist_H(h_i,h_j)=\frac 1 2(K−⟨h_i,h_j⟩)$$
同样地，如果最后一层的输出不是近似二值分布的话，使用内积近似代替汉明距离会有很大误差。

如何设计损失函数

在Iterative Quantization (ITQ)中，为了减小量化误差，使用如下目标函数：

$$Q_{ITQ} = ||h_i − sgn (h_i) ||_2$$
论文在ITQ的基础上做了改进：
因为 $h_i$与 $sgn(h_i)$符号相同，所以
$$||h_i − sgn (h_i)|| _2 = ||\,|h_i| − |sgn (h_i)|\,||_2\\=||\,|h_i|-1\,||_2\le ||\,|h_i|-1\,||_1.\text{(norm inequality)}$$

所以$||\,|h_i|-1\,||_1$为ITQ目标函数的上界，并且An important advantage of the proposed loss is that the L1-loss may encourage sparsity, that is, more hash bits maybe enforced to be {−1, 1} compared with the L2-loss。

附L1范数与L2范数的区别：L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。使用L2范数的规则项$||W||_2$，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0。

作者设计了pairwise cross-entropy loss：

$$L=\sum_{s_{i,j}\in S} (\,log(1+exp(<z_i,z_j>)\,)-s_{ij}<z_i,z_j>\,)$$
其本质就是交叉熵损失函数：
$$L=-\sum_{s_{i,j}\in S} (\, s_{ij}log(\,\sigma (\Omega_{ij})\,)+(1-s_{ij})log(\,1-\sigma (\Omega_{ij})\,)\,)$$
其中 $\Omega_{ij}=<z_i,z_j>,\sigma(\Omega_{ij})=\frac 1 {1+e^{-\Omega_{ij}}}$，总之根据损失函数，当 $s_{ij}=0$时，要求 $\Omega_{ij}$很小，即不相似。反之当 $s_{ij}=1$时，要求 $\Omega_{ij}$很大，即相似。这个损失函数为了使学习到的哈希函数能够保持语义相关性。参考： 交叉熵代价函数
接着设计了 pairwise quantization loss：
$$Q=\sum_{s_{i,j}\in S} (\,||\,|z_i|-1\,||_1+||\,|z_j|-1\,||_1\,)$$

网络结构如下：

实验结果：

DHN-B：没有量化过程（直接使用实数特征来检索），代表该网络的性能上限。
DHN-Q：不加pairwise quantization loss。
DHN-E：将pairwise cross-entropy loss 改成传统的损失函数：$L=\sum_{s_{i,j}\in S} (\,s_{ij}-\frac1 K<z_i,z_j>)^2$（Liu et al.2012; Xia et al. 2014）