确界
设
若实数
（1）对任何
（2）对于任意给定的
即
则称实数
类似的
设
若实数
（1）对任何
（2）对于任意给定的
即
则称实数
Cantor确界存在定理
又称确界原理、最小上界原理
设
单调数列
如果数列
则称此数列为递增数列；
如果数列
则称此数列为递减数列.
若果上面两个不等式都是严格的，即
则称此数列为严格递增的（或严格递减的）
递增数列和递减数列统称为单调数列.
Cantor单调有界收敛定理
又称单调有界定理
实数集
Cauchy列
设
对于任意给定的
则称数列
基本列的一个等价的定义是：
对于任意给定的
使得对任意的
则称数列
Cauchy基本列收敛定理
又称Cauchy收敛原理、Cauchy收敛准则
实数集
闭区间套
设闭区间列
即
也就是说
则称
Cauchy-Cantor定理
又称闭区间套定理
若
则交集
又如
则交集
闭区间套定理的一个等价形式是：
设闭区间序列
（
则在实数系中存在点
即
又如果
则点
Cantor确界存在定理的证明：
只证明上确界原理，下确界当然是同样的证明方法
（一）使用Cauchy基本列收敛定理
华东师范大学《数学分析》上册，P167——168
设
由阿基米德原理，对任何正数
存在正整数
则存在
取
对每个正整数
使得
则存在
对正整数
则
这样显然有
同理存在
这样有
那么显然
所以对任意给定的
对任意的
这样，数列
记
则对任意
所以
由于
那么对任意给定的
即
也即对任意给定的
使得
这说明
（二）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理
定光桂《极限论与微分学新探》，P27——29
常庚哲、史济怀《数学分析教程》上册，P39——40
梅加强《数学分析》，P57——58
谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边《数学分析习题课讲义》上册，P72（练习题）
设
显然，
令
闭区间
如果右端闭区间
即
否则的话，中点
即
显然
重复这一过程
闭区间
如果右端闭区间
即
否则将左端闭区间
即
显然
这样不断重复下去，可得到一列闭区间套
显然满足
（
并且
（
显然闭区间套
每个闭区间
每个闭区间
根据闭区间套定理，存在唯一的实数
即
【1】
注意到
显然数列
每个
任取一点
显然对任何
令
这说明
则对任意
而在区间
根据上确界定义，
【2】
假设
则令
显然存在
从而
对任意的
则显然
任意
根据上确界定义，
Cantor单调有界收敛定理的证明：
只针对单调增数列证明，单调减数列当然是同样的证明方法
（一）使用Cantor确界存在定理
菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷，P54——55
卓里奇《数学分析》第一卷，P74
定光桂《极限论与微分学新探》，P29
常庚哲、史济怀《数学分析教程》上册，P40
许少溥、姜东平《数学分析教程》上册，P35——36
梅加强《数学分析》，P36——37
华东师范大学《数学分析》上册，P35
谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边《数学分析习题课讲义》上册，P68
设数列
由Cantor确界存在定理，数列
显然
对任意给定的
又由数列
又
这样，对任意给定的
这就说明数列
（二）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理
谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边《数学分析习题课讲义》上册，P72（练习题）
设数列
（它的一个下界显然是
显然，数列
令
闭区间
如果右端闭区间
即
否则将左端闭区间
即
显然
重复这一过程
闭区间
如果右端闭区间
即
否则将左端闭区间
即
显然
这样不断重复下去，可得到一列闭区间套
显然满足
（
并且
（
显然闭区间套
每个闭区间
每个闭区间
根据闭区间套定理，存在唯一的实数
即
而对于任意的
由
而
换而言之，对任意给定的
对应这样的
那么显然
这就得出，对任意给定的
这说明数列
Cauchy基本列收敛定理的证明：
必要性很显然：
设数列
则对于任意给定的
则对任意
所以数列
必要性得证
引论
基本列一定有界
实际上，设数列
对
取
则
这样
其中正实数
这样可得，基本数列
充分性：
（一）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理（一）
谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边《数学分析习题课讲义》上册，P75——76
使用三分法构造闭区间套
设数列
则它当然有界
存在常数
将闭区间
令
可得三个长度相同的子区间
很显然，闭区间
否则的话，假设闭区间
则在
满足不等式
这与数列
从而闭区间
于是可在闭区间
如果子区间
将得到的新区间记为
显然
重复这一过程
将闭区间
令
可得三个长度相同的子区间
很显然，闭区间
于是可在闭区间
如果子区间
将得到的新区间记为
显然
这样不断重复下去，可得到一列闭区间套
显然满足
（
并且
（
显然闭区间套
每个闭区间
根据闭区间套定理，存在唯一的实数
即
所以对任意给定的
使得
也即
由于每个闭区间
则存在
即
也即
从而对任意给定的
这说明数列
（二）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理（二）
华东师范大学《数学分析》上册，P162——163
定光桂《极限论与微分学新探》，P31——33
设数列
对于任意给定的
从而有
也即闭区间
令
使得闭区间
将这个闭区间记为
再令
使得闭区间
记
显然闭区间
这样不断令
按上述方法，可得到一列闭区间套
显然满足
（
并且
（
显然闭区间套
每个闭区间
根据闭区间套定理，存在唯一的实数
即
这样，对给定的
而数列
也即此时存在
即
也即
从而对任意给定的
这说明数列
（三）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理（三）
卓里奇《数学分析》第一卷，P72——73
设数列
则它当然有界
对一切
令
显然有
这样可得到一列闭区间套
显然满足
（
根据闭区间套定理，存在实数
当
则当
数列
则对于任意给定的
即
从而当
从而当
又
则
从而对任意给定的
这说明数列
Cauchy-Cantor闭区间套定理的证明
（一）使用Cantor单调有界收敛定理
菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷，P64——65
定光桂《极限论与微分学新探》，P30
常庚哲、史济怀《数学分析教程》上册，P28——29
许少溥、姜东平《数学分析教程》上册，P88——90
梅加强《数学分析》，P53——54
华东师范大学《数学分析》上册，P161——162
若
则显然，数列
由Cantor单调有界收敛定理，数列
同理，数列
由Cantor单调有界收敛定理，数列
由于
不等式
又若
即
则必有
此时有
则
假设
则显然
则
或者
由极限的保序性
显然
（二）使用Cantor确界存在定理
许少溥、姜东平《数学分析教程》上册，P88——90
若
则显然，数列
由Cantor确界存在定理，数列
同理，数列
由Cantor确界存在定理，数列
接下来的证明同上一种证法
（三）使用Cauchy基本列收敛定理
定光桂《极限论与微分学新探》，P31——33
许少溥、姜东平《数学分析教程》上册，P117（习题）
若
并且
则显然，对任意给定的
并且对一切
则显然
这说明数列
由Cauchy基本列收敛定理，显然数列
设数列
而数列
又
则必有
此时有
则
假设
则显然
则
或者
由极限的保序性
显然
