数列极限的概念

这一节，开始学习数列极限理论。首先，回顾一下与数列有关的概念。

数列基础

数列的概念

\quad 中学阶段，已经接触过数列的基础内容。常见的数列有：

1. 三角形数；
2. 正方形数；
3. 斐波那契数；
4. ……

\quad 直观地讲，数列就是一列数，并且是按照正整数排列的一列数。基于对数列的直观认识，于是有 定义1。

定义 1. 数列：按照一定次序排列的一列数称为 数列（sequence of number）。数列中的每一个数称为该数列的 项，数列中的每个项都与所对应的符号有关。数列的一般形式为
$$x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$$
可以简单地将其记作： { x n } \{x_n\} {xn​}。$x_1$ 称为 首项，$x_n$ 称为 通项。

附注：

• 按照数列的项数是否有限，可将数列分为 有穷数列 与 无穷数列。当然，有穷数列一般没有什么研究价值，我们重点研究无穷数列。

• 数列中的每一项都是一个数，可以是实数，也可以是复数。

以上是中学阶段所接触到的关于数列的基础内容，但在数学分析或微积分中，我们需要更深层次地剖析数列。

在微积分中，我们的所有讨论基本上都是基于实数集的。因此，在数列部分，我们只讨论实数列。

以斐波那契数列为例，
$$1,1,2,3,5,8,\cdots$$
其中，数列中的每一项的值都是一个实数，而且每一项又都与其对应的”编号“有关，这样，”编号“与”数值“就建立了一个映射，或者说函数。从这样一个观点考虑，对于数列，有 定义 2。

定义 2. 数列’：定义域为正整数集 ${\mathbb{N}}^{+}$ 的函数
$$f:{\mathbb{N}}^{+}\to \mathbb{R}\text{或}{x}_n=f(n),n=1,2,3,\cdots$$
称为 实数序列，简称 实数列 或 数列。

附注：

• 从 定义 1 中的 “一列数” 到 定义 2 中 的 “函数”，如何理解这两种不同的定义？

答：按照 定义 2，数列可看作函数，也就是变量，由于其自变量都是正整数，数列也被称为 整序变量。

虽然从直观上，实数序列与整序变量是两个不同的概念，但在本质上，两者是等价的。

实际上，确定实数序列 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$ 的数值，与给定依次具有值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$ 的变量 $x$ ，两者所做的是相同的事情：指出某个规则，使每个自然数 $n$，对应者完全确定的实数 $x_n$。

具体解释可参阅 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程. 第一卷。

完

• 数集 与 数列 有什么异同？

答：首先，数集中的元素是互异的，而数列中的项是可以相同的。例如

{ 1 , 2 , 3 , 3 , 4 } , { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,3,4\},\{1,2,3,4\} {1,2,3,3,4},{1,2,3,4}

两个数集是相同的。而

$$x_n:1,2,2,2,2,3,4,5,\cdots y_n:1,2,3,4,5\cdots$$

两个数列是不同的。

其次，数集中的元素是无序的，而序列中的项是有序的。例如：

{ 1 , 2 , 3 , 4 } , { 4 , 3 , 2 , 1 } \{1,2,3,4\},\{4,3,2,1\} {1,2,3,4},{4,3,2,1}

两个数集是相同的。而

$$x_n:4,3,2,1,5,6,7,\cdots y_n:1,2,3,4,5,6,7,\cdots$$

两个数列是不相同的。

完

下面，介绍几种特殊的数列。

特殊数列

等差数列（算术数列）

定义 3. 等差数列：数列的后一项与前一项的差恒为常数的数列称为 等差数列，这个常数称为 公差。

设 { x n } \{x_n\} {xn​} 是一等差数列，公差为 $d$，则：

$$x_1,x_2=x_1+d,x_3=x_2+d=x_1+2d,\cdots ,x_n=x_1+(n-1)d,\cdots$$

因此，等差数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的通项 $x_n$ 可表示为：

$$x_n=x_1+(n-1)d,n=1,2,3,\cdots .$$

设 $S_n$ 是等差数列 $x_n$ 的前 $n$ 项和，则：

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =x_1+x_2+\cdots +x_n,\\ S_n& =x_n+x_{(}n-1)+\cdots +x_1,\\ 2\cdot S_n& =(x_1+x_n)+(x_2+x_{n-1})+\cdots +(x_n+x_1)\\ & =(x_1+x_1+(n-1)d)+(x_1+d+x_1+(n-2)d)+\cdots +(x_1+(n-1)d+x_1)\\ & =n\cdot (2x_1+(n-1)d)\\ & =n(x_1+x_n),\\ S_n& =\frac{n(x_1+x_n)}{2}\\ & =n{x}_1+\frac{n(n-1)d}{2},n=1,2,3,\cdots .\end{array}$$

等比数列（几何数列）

定义 4. 等比数列：数列的后一项与前一项的比恒为常数的数列称为 等比数列，这个常数称为 公比。

设 { y n } \{y_n\} {yn​} 为一等比数列，公比为 $q$，则：

$$y_1,y_2=y_1\cdot q,y_3=y_2\cdot q=y_1\cdot q^2,\cdots ,y_n=y_1\cdot q^{n-1},\cdots$$

因此，等比数列 { y n } \{y_n\} {yn​} 的通项 $y_n$ 可表示为：

$$y_n=y_1\cdot q^{n-1},n=1,2,3,\cdots .$$

设 $T_n$ 是等比数列 $y_n$ 的前 $n$ 项和，则：

$$\begin{array}{rl}{T}_n& =y_1+y_2+\cdots +y_n\\ & =y_1+y_1\cdot q+y_1\cdot q^2+\cdots +y_1\cdot q^{n-1}\\ & =y_1(1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}),\\ q\cdot T_n& =y_1(q+q^2+q^3+\cdots +q^n),\\ T_n-q\cdot T_n& =y_1(1-q^n),\\ T_n& =\frac{y_1(1-q^n)}{1-q}\\ & =\frac{y_1-y_n\cdot q}{1-q},n=1,2,3,\cdots .\end{array}$$

有界数列

联系集合有界、函数有界的定义，有数列有界的定义。

定义 5. 数列的上界：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若存在 $M\in \mathbb{R}$，使得对于一切正整数 $n$，成立

$$x_n\le M,n=1,2,3,\cdots$$

则称 $M$ 是数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个 上界，数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 称为 有上界数列。

定义 6. 数列的下界：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若存在 $ m\in \mathbb{R}$，使得对于一切正整数 $n$，成立

$$x_n\ge m,n=1,2,3,\cdots$$

则称 $m$ 是数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个 下界，数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 称为 有下界数列。

定义 7. 有界数列 ：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若同时存在 $m,M\in \mathbb{R}$，使得对于一切正整数 $n$，成立

$$m\le x_n\le M,n=1,2,3,\cdots$$

则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 为 有界数列，$m,M$ 分别是 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个下界和上界。

定义 8. 有界数列’：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若存在 $X\in \mathbb{R},X>0$，使得对一切正整数 $n$，成立

$$|x_n|\le X,n=1,2,3,\cdots$$

则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 为 有界数列。

附注：

（1）数列的上、下界并不是唯一的。若 $m,M\in \mathbb{R}$ 分别是数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个上、下界，则：

• 任意小于 $m$ 的实数都是 { x n } \{x_n\} {xn​} 的下界；
• 任意大于 $M$ 的实数都是 { x n } \{x_n\} {xn​} 的上界。

（2）有界数列的 定义 7 与 定义 8 是等价的。

单调数列

定义 9. 单调数列：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若满足

$$x_n\le x_{n+1}(\text{或}{x}_n\ge x_{n+1}),n=1,2,3,\cdots$$

则称 { x n } \{x_n\} {xn​} 为 单调增加（减小）数列，或 递增（递减）数列，不减（不增）数列。

进一步地，若满足

$$x_n<x_{n+1}(\text{或}{x}_n>x_{n+1}),n=1,2,3,\cdots$$

则称 { x n } \{x_n\} {xn​} 为 严格单调增加（减小）数列，或 严格递增（递减）数列。

附注：

（1）若数列 { x n } \{x_n\} {xn​} （严格）单调增加，则其必有下界。对于 { x n } \{x_n\} {xn​}，显然有：

$$x_1\le x_2\le \cdots \le x_n\le \cdots$$

按照数列下界的定义，$x_1$ 是 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个下界。

（2）若数列 { y n } \{y_n\} {yn​} （严格）单调减小，则其必有上界。对于 { y n } \{y_n\} {yn​}，显然有：

$$y_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n\ge \cdots$$

按照数列上界的定义，$y_1$ 是 { y n } \{y_n\} {yn​} 的一个上界。

子列

定义 10. 子列：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 是一数列， { n k } \{n_k\} {nk​} 是一个严格单调增加的正整数数列，即

$$n_1<n_2<\cdots <n_k<n_{k+1}<\cdots$$
则

$$x_{n_1},x_{n_2},\cdots ,x_{n_k},\cdots$$

也是一个数列，并称为数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个 子列。

附注： { n k } \{n_k\} {nk​} 是严格单调增加的正整数数列，显然有

$$n_k\ge k,k=1,2,3,\cdots .$$

数列极限

介绍完数列的基础内容，下面正式学习数列极限理论。

数列极限的定义

定义 11. 数列极限：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若存在某个数 $a\in \mathbb{R}$，对于任意给定的 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，成立

$$|x_n-a|<ϵ$$

则称 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$，$a$ 称为 { x n } \{x_n\} {xn​} 的 极限。记作：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a,\text{或}{x}_n\to a(n\to \infty ).$$

读作：“$n$ 趋于 $\infty$ 时，$x_n$ 趋于实数 $a$”。

使用 "$ϵ-N$ " 语言描述：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\iff \forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\forall n>N:|x_n-a|<ϵ.$$

定义 12. 数列的敛散性：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若存在某个数 $a\in \mathbb{R}$，使得 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$，则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛。否则，称数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 发散。

附注：

（1）"$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$"意为“$n$ 趋于无穷时，$x_n$ 的值趋于 $a$”，并不代表 “$x_n=a$”，当然不排除有 $x_n=a$ 的可能。

（2）$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\iff \forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\forall n>N:|x_n-a|<ϵ$，对含有绝对值的不等式展开，即有：

$$a-ϵ<x_n<a+ϵ.$$

（3）极限定义中的 $ϵ>0$ 必须是任意给定的，不能用一个很小的正数代替。另外，这里的“任意给定”应理解为“任意小”而不是“任意大”，因此将定义中的 $\forall ϵ>0$ 更改为 $\forall ϵ\in (0,1)$、$\forall ϵ\in (0,\frac{1}{2})$ 等等，都是允许的（这在习题训练中经常碰到）。

（4）$N$ 与 $ϵ$ 的关系：在 $ϵ$ 给定之后，满足要求的 $N$ 通常与 $ϵ$ 有关。$N$ 的择取对 $ϵ$ 的值有一定的依赖关系，但不是函数关系。通常：

• $ϵ$ 取的值越小，满足要求的 $N$ 就越大；
• $ϵ$ 取得值越大，满足要求的 $N$ 就越小。当 $ϵ$ 取的足够大时，$N$ 可取任意正整数，这样的 $ϵ$ 在数列极限中没有任何作用。
• 由数列极限的 定义 11,可知数列的敛散性与数列的前有限多项无关，随意更改前有限多项的数值，并不会影响数列本身的敛散性。

数列极限的几何意义

下面分析一下数列极限的几何意义。

方式一

设数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于实数 $a$。对于任意给定的 $ϵ>0$，可将 { x n } \{x_n\} {xn​} 中的所有项的数值、$a$ 以及 $a\pm ϵ$ 对应到数轴上，则有

显然，数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$ 有明显的几何意义：

以 $a$ 为中心的线段不论有多么短（其长为 $2ϵ$），从某一项开始的一切 $x_n$ 全部落在该线段内（如此一来，线段外必定只有数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 中的有限多个点）。

方式二

既然数列可看作正整数集 ${\mathbb{N}}^{+}$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的函数

$$x=f(n),n\in {\mathbb{N}}^{+},$$

自然可以使用 函数的图像法 对其进行描述。

此时，数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$ 有几何意义：

以过点 $a$ 的直线为中线的条带不论有多么窄（宽度为 $2ϵ$），从某一项开始的一切 $x_n$ 全部落在该条带内（如此一来，条带外必定只有数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 中的有限多个点）。

显然，以上两个分析角度虽然有所不同，但可以得到相近的几何意义。基于这种几何意义，可得数列极限的另一等价定义。

定义 13. 数列极限’：设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一数列，若存在某个数 $a\in \mathbb{R}$，对于任意给定的 $ϵ>0$，区间 $(a-ϵ,a+ϵ)$ 外至多存在数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 中的有限多项，则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$，$a$ 称为 { x n } \{x_n\} {xn​} 的 极限。

附注：

（1）定义 13 更是明显地反映了数列的敛散性与数列的前有限多项无关的特点。

（2）基于该定义，同样可使用 “$ϵ-N$” 语言描述数列的 敛散性。

• 数列收敛：$\exists a\in \mathbb{R},\forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\forall n>N:x_n\in U(a;ϵ)$。

• 数列发散：$\forall a\in \mathbb{R},\exists {ϵ}_0>0,\forall N\in {\mathbb{N}}^{+},\exists n>N:x_n\notin U(a;{ϵ}_0)$。

数列的敛散性分析

下面，使用 “$ϵ-N$” 语言进一步描述数列的敛散性。

命题 1：数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于实数 $a$。

• 语言描述（定义）：“对于任意给定的 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，成立 $|x_n-a|<ϵ$”。

• $ϵ-N$ 符号表述：

$$\forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\forall n>N:|x_n-a|<ϵ.$$

命题 2：数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 不收敛于 $a$。

• 语言描述：定义的否定形式。根据量词取反的 对偶法则 ，有

“存在 ${ϵ}_0>0$ ，使得对于任意的正整数 $N$，存在 $n>N$，成立 $|x_n-a|>{ϵ}_0$”。

• $ϵ-N$ 符号表述：

$$\exists {ϵ}_0>0,\forall N\in {\mathbb{N}}^{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge {ϵ}_0.$$

命题 3：数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛。

• 语言描述（定义）：“存在一个实数 $a$，对于任意给定的 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，成立 $|x_n-a|<ϵ$”。

• $ϵ-N$ 符号表述：

$$\exists a\in \mathbb{R},\forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\forall n>N:|x_n-a|<ϵ.$$

命题 4：数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 发散。

• 语言描述：命题 3 的否定形式。根据量词取反的 对偶法则 ，有 “存在 ${ϵ}_0>0$ ，使得对于任意的正整数 $N$，存在 $n>N$，成立 $|x_n-a|>{ϵ}_0$”。

• $ϵ-N$ 符号表述：

$$\forall a\in \mathbb{R},\exists {ϵ}_0>0,\forall N\in {\mathbb{N}}^{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge {ϵ}_0.$$

参考文献

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