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发信人 : dhj (offer 终究是一场难圆的梦 ), 信区 : Digest

标   题 : Mathematcis 推荐文章一：大学数学学习参考书点评

发信站 : 日月光华站 (Sun Mar 18 22:51:29 2001) , 站内信件

 

注：本文两万余字，是 yjyao 网友一年前在数学版所作连载的整理，其中有

若干网友稍作补充。该连载后来在国内大学的各大 BBS 均有转载并广受好评。

 

发信人 : yjyao ( 等待 ...... 未来 ), 信区 : mathematics

 

数学分析部分：

 

从数学分析的课本讲起吧 .

复旦自己的课本应该可以从

六十年代上海科技出的算起

( 指正式出版 ), 那本书在香港

等地翻印后反应据说非常好 ,

似乎丘成桐先生做学生的时候

也曾收益与此 .

到 90 年代市面上还能看到的课本

里面 , 有一套陈传璋先生等编的 ,

可能就是上面的书的新版 , 交大的

试点班有几年就拿该书做教材 .

另外有上海科技版的欧阳光中 ( 谷先生

的连襟 ), 秦曾复 , 朱学炎三位编的

课本 , 好象后来数学系不用了 ,

计算机系倒还在用 . 那本书里面

据说积分的第二中值定理的陈述

有点小错 .

总的说来 , 这些书里面都可以看到

一本书的影子 , 就是

菲赫今哥尔茨的 " 数学分析原理 ",

其原因 , 按照秦老师的说法 , 是最初

在搞教材建设的时候 , 北大选的 " 模本 "

是辛钦的 " 数学分析简明教程 ",

而复旦则选了 " 数学分析原理 ".

后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的

那本数学分析 . 我不否认那是一种尝试 ,

但是感觉上总有点别扭 . 以比较新的观点

来看数学分析这样经典的内容在国际上

的确是一种潮流 , 但是从这个意义上说

该书做得并不是非常好 . 而且从整体的

课程体系上说 , 在后面有实变函数这样

一门课的情况下是否有必要引入 Lebesgue

积分值得商榷 .

 

下面开始讲一些课本 , 或者说参考书 :

1. 菲赫今哥尔茨

" 微积分学教程 "," 数学分析原理 ".

前一本书 , 俄文版共三卷 , 中译本共 8 本 ;

后一本书 , 俄文版共二卷 , 中译本共 4 本 .

此书堪称经典 .

" 微积分学教程 " 其实连作者 ( 莫斯科或者

列宁格勒大学的教授 , 门下弟子无数 , 包括

后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家 Kantorovitch)

都承认不太合适作为教材 , 为此他才给出了

能够做教材的后一套书 , 可以说是一个

精简的版本 ( 有所补充的是在最后给出了

一个后续课程的简介 ).

相信直到今天 , 很多老师在开课的时候

还是会去找 " 微积分学教程 ", 因为里面

的各种各样的例题实在太多了 . 如果想

比较扎实的打基础的话 , 可以考虑把里面的

例题当做有答案的习题来做 , 当然不是每道

题都可以这么办的 . 如果你全部做完了

那里的题目然后考试的时候碰到你做过的

可别怪我 .

毫无疑问 , 这套书代表了以古典的方式

处理数学分析内容 ( 指不引入实变 , 泛函的观念 )

的最高水平 , 考虑到在中国的印数就以十万

计 , 可能在世界范围内也只有 Goursat 的书可以与之相比了 .

这两套书在理图里面都有 .

2.Apostol

"Mathematical Analysis"

在西方 ( 西欧和美国 ), 这应该算得上是

一本相当完整的课本了 , 在总书库里面

有 .

3.W.Rudin

"Principles of Mathematical Analysis"

( 有中译本 : 卢丁 " 数学分析原理 ", 理图里有 )

这也是一本相当不错的书 , 后面我们可以看到 ,

这位先生写了一个系列的教材 . 该书的讲法 ,

( 指一些符号 , 术语的运用 ) 也是很好的 .

这里附带说一句 , 因为在理基里面当年念的是

后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的 " 高等数学 ",

虽然我一向认为该书编的很是不好 , 但是在这里

想引秦老师的一句话 , 希望能对非数学专业的

ddmm 有所帮助 : 就是学完 " 高等数学 " 以后 , 可以

找一本西方 advanced calculus 水平的书来看 ,

基本上就能够达到一般数学系的要求了 . 当时秦老师

曾特别指出 Rudin 的书 .

说到 Advaced Calculus, 在这个标题下面有一本书也是

可以一看的 , 就是

L.Loomis 和 S.Sternberg 的 Advanced Calculus,

其第一版在总书库里面有不少 , 第二版在理图

外国教材中心有一本 , 系资料室是不是有不清楚 .

这本书的观点还是很高的 , 毕竟是人家 Harvard 的

课本 .

 

4." 数学分析 "( 北大版 ) 方企勤 , 沈燮昌等

" 数学分析习题集 "," 数学分析习题课教材 ".

北大的这套课本写得还是可以的 , 不过最好的东西

还是两本关于习题的东西 . 大家知道 , 吉米多维奇

并不是很适合数学系的学生的 , 毕竟大多是计算题

( 一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的

习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的 ,

原因好象是编书的人也没做出来 , 好象是关于级数

收敛的一个题目 ). 相比之下北大的这本习题集就

要好许多 , 的的确确值得一做 . 那本习题课教材也

是很有意思的书 , 包括一些相当困难的习题的解答 ,

96 年那会理图里面有一本 , 现在不知道怎么样了 .

5. 克莱鲍尔 " 数学分析 "

记得那是一本以习题的形式讲分析的书 , 题目也很不错 .

理图里有 .

6. 张筑生 " 数学分析新讲 "( 共三册 )

我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本 ,

张老师写这书也实在是呕心沥血 , 手稿前后写了差不多

五遍 . 象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的

是比常人要多得多的 . 以致他自己在后记中也引了 " 都

云作者痴 , 谁解其中味 ". 在这套书里 , 对于许多材料的

处理都和传统的方法不太一样 . 非常值得一读 . 唯一的

遗憾是 , 按照张老师本人的说法 , 北大出版社找了家根

本不懂怎么印数学书的印刷厂 , 所以版面不是很好看 .

理图里有 .

 

下面的一些书可能是比较 " 新颖 " 的 .

7a. 尼柯尔斯基 " 数学分析 ( 教程 ?)"

理图里有 , 是清华的人翻译的 , 好象没翻全 . 那属于

80 年代以后苏联的新潮流的代表 , 不管怎么说 ,

人家是苏联科学院院士 .

7b." 数学分析 "

忘了是谁写的了 , 也是苏联的 , 莫斯科大学的教材 .

理图里面有第一卷的中译本 , 分两册 . 那里面从极限

的讲法 ( 对于拓扑基的 ) 开始就能够明显得让人感觉

到观点非常的 " 高 ".

8. 狄多涅 " 现代分析基础 ( 第一卷 )"

那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷 ,

用的术语相当 " 高深 ", 可能等以后学了实变 , 泛函再

回过头来看感觉会更好一些 .

9. 说两句关于非数学专业的高等数学 .

这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书 .

因为在法国高等教育系统里面 , 对于最好的学生 ,

中学毕业以后念的是两年大学预科 , 这样就是不

分系的 , 所以他们的高等数学 ( 比如理图里面有

J.Dixmier 院士的 " 高等数学 " 第一卷 ) 或者叫

" 普通数学 "( 理图里面有一套书就是这个标题 ),

其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课

之间 .

 

10. 再补充一个技术性的小问题 . 对于函数项级数收敛 ,

一致收敛是充分而非必要的 , 有一个充要条件叫

" 亚一致收敛性 ", 在 " 微积分学教程 " 里面提了一句 ,

其详细讨论 , 似乎仅见于

鲁金 (Lusin) 的 " 实变函数论 "

里面 , 总书库里面有 .

11. 华罗庚先生的 " 高等数学引论 " 第一卷

这套书 ( 其实没有完成最初的计划 ) 是六十年代初

华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时

的讲义 . 那时候他们做过一个实验 , 就是一个教授

负责一届学生的教学 , 所以华先生这书里面其实

是涉及很多方面的 ( 附带提一句 , 另外两位负责过一

届学生的是关肇直先生和吴文俊先生 ). 也是出于

一种尝试吧 , 华先生这书里面有一些不属于传统

教学内容的东西 , 还包括一些应用 . 可以一读 .

理图里有 .

12. 何琛 , 史济怀 , 徐森林

" 数学分析 "

这应该是科大的教材 , 虽然好象影响不是很大 ,

我本人还是很喜欢的 , 高一的时候第一次学数分

就是用的这套书 , 感觉是条理清晰 , 配的习题也很好 .

印刷质量也相当不错 . 可惜的是学校里面没有 , 所以

放在最后 .