对数函数与幂函数

news/2024/11/22 22:19:40/

对数函数

1. 金字塔

1.1 横线思考

  • 对数函数与指数函数的关系，互为反函数的关系；
  • 专业术语：底数、对数、真数（幂）、
  • 特殊对数函数：常数对数函数、自然对数函数；
  • 底数的取值范围：大于0，但是不等于1；
  • 对数函数的定义域 ： ( 0 &lt; x &lt; ∞ ) (0&lt;x&lt;\infty) (0<x<∞)
  • 对数函数的值域： ( − ∞ &lt; y &lt; ∞ ) (-\infty &lt; y &lt; \infty) (−∞<y<∞)

1.2 纵向思考

  • 对数函数的定义
  • 对数函数的性质
  • 对数函数的运算
  • 对数函数的图像

2.麦笔记

2.1 对数函数的定义

对数函数是指数函数的反函数，从定义的角度，可以从指数函数的反函数的角度进行考虑，对数函数与指数函数的图像关于 y = x y=x y=x对称，负数和零没有对数；

2.3 对数函数的运算

  • 如果 a &gt; 0 , 且 a ≠ 0 , M &gt; 0 , N &gt; 0 a&gt;0, 且a \neq 0, M &gt; 0, N &gt;0 a>0,且a̸​=0,M>0,N>0

( 1 ) log ⁡ a ( M ∗ N ) = log ⁡ a M + log ⁡ a N ; (1) \log_a{(M*N)}=\log_aM + \log_aN; (1)loga​(M∗N)=loga​M+loga​N;
( 2 ) log ⁡ a ( M N ) = log ⁡ a M − log ⁡ a N (2) \log_a{(\frac{M}{N} )} = \log_aM- \log_aN (2)loga​(NM​)=loga​M−loga​N
( 3 ) log ⁡ a M N = N log ⁡ a M ( N ϵ R ) (3) \log_a{M^N}=N\log_aM (N \epsilon R) (3)loga​MN=Nloga​M(NϵR)

  • 可以查询常数对数表、自然对数表。所以 下面介绍换底公式。

换 底 公 式 ： log ⁡ a b = log ⁡ c b log ⁡ c a 换底公式：\log_ab = {\frac{\log_cb}{\log_ca}} 换底公式：loga​b=logc​alogc​b​

2.4 对数函数的性质与图像

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  • 定义域： ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+∞)
  • 值域： R R R
  • 性质：
    • （1）过定点(1,0)；
    • （2）当 a &gt; 1 时 a&gt;1时 a>1时，是增函数；
    • （3）当 0 &lt; a &lt; 1 时 0&lt;a&lt;1时 0<a<1时，是减函数；

幂函数

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