一般地，对数函数以 幂（ 真数）为 自变量，指数为 因变量，底数为 常量的函数。
对数函数是6类 基本初等函数之一。其中 对数的定义：
如果a x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log aN，读作以a为底N的 对数，其中a叫做对数的 底数，N叫做 真数。
一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以 幂（ 真数）为 自变量，指数为 因变量，底数为 常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的 定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是 指数函数的 反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
“ log”是 拉丁文logarithm（对数）的缩写。
实际应用
在 实数 域中，真数式子没 根号 那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数）， 底数 则要大于0且不为1。
对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切 实数（比如log 11也可以等于2，3，4，5，等等）】
通常我们将以10为底的对数叫 常用对数（common logarithm),并把log 10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以 无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的 对数称为 自然对数 （natural logarithm)，并且把 logeN 记为 In N。根据对数的定义，可以得到对数与 指数间的关系：
当a>0，a≠1时，a X=N 
X= logaN。（N>0）
由 指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
在 实数范围内， 负数和 零没有对数；
有理和无理指数
如果 
是正整数, 
表示等于 
的 
个因子的加减:
但是，如果是 
不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 
（参见 幂）。类似的，对数函数可以定义于任何 正实数。对于不等于1的每个正 底数 
，有一个对数函数和一个 指数函数，它们互为反函数。
对数可以简化 乘法运算为 加法，除法为 减法， 幂运算为 乘法，根运算为 除法。所以，在发明 电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
复对数
复对数计算公式
复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1] 。
德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《 整数算术》中，写出了两个 数列，左边是 等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之 积（ 商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」， 化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求 球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的 对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳 皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：
Nap．㏒x=10㏑(107/x)
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了 对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的 布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家 伽利略（1564-1642）说：「给我时间， 空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家 拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例 与对数》，它是由波兰的 穆尼斯（1611-1656）和我国的 薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫 真数，0.3010叫做 假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 假数为 对数」。
当今中学数学教科书是先讲「 指数」，后以 反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《 对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《 无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是 指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。
定义域 求解：对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型 复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意 底数大于0且不等于1，如求函数y=log x（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1
和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
值域 ： 实数集R，显然对数函数无界；
定点 ：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；
单调性 ：a>1时，在定义域上为单调增函数；
0<a<1时，在 定义域上为单调减函数；
奇偶性 ： 非奇非偶函数
周期性 ：不是 周期函数
对称性：无
最值：无
零点：x=1
注意： 负数和0没有对数。
两句经典话： 底真同对数正,底真异对数负。解释如下：
也就是说：若y=log ab （其中a>0,a≠1，b>0）
当0<a<1, 0<b<1时，y=log ab>0;
当a>1, b>1时，y=log ab>0;
当0<a<1, b>1时，y=log ab<0;
当a>1, 0<b<1时，y=log ab<0。
e的定义：
设a>0,a≠1
方法一：
特殊地，当 
时， 
。
方法二：
设 
，两边取对数ln y=xln a
两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a
特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
eº=1
一般地，如果a（a>0 ，且a≠1）的b次 幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b，其中a叫做对数的 底数，N叫做 真数 。
底数则要>0且≠1 真数>0
并且，在比较两个函数值时：
如果 底数一样， 真数越大， 函数值越大。（a>1时）
如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）
当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：
和差
换底公式
推导：设
所以
两边取对数，则有
即
又因为
所以
指系
还原
互换
倒数
链式
（1）常用对数：lg(b)=log 10b（10为底数）
（2）自然对数：ln(b)=log eb（e为底数）
e为 无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828
同底的对数函数与 指数函数互为反函数。
当a>0且a≠1时，a x=N x=㏒ aN。
关于y=x 对称。
对数函数的一般形式为 y=㏒ ax，它实际上就是指数函数的 反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于 直线y=x的 对称图形，因为它们互为 反函数 。
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