前言

本文通过滑模方法对AUV的直线路径跟踪的转艏力矩进行设计，主要目的是介绍滑模变结构控制的基本原理和滑模方法在AUV控制中的简单运用。

一、滑模控制的基本原理介绍

滑模变结构控制是一种非线性的控制方法，又称为变结构控制，其控制结构是不固定的，会随着整个系统的状态变化而变化。根据系统运动轨迹可以通过切换控制量进行控制，滑模控制的结构简单，对精确的数学模型的依赖性不强，同时易于控制而且响应较快，缺点是其不连续的特性会导致抖振现象产生，系统的状态在切换面的左右 进行抖动，无法对切换面进行实际上的趋近和贴合。
滑模运动主要包括趋近运动和滑模运动两部分。
趋近运动：要求状态空间不断向切换面靠近，对具体的趋近过程未作限制；
滑模运动：系统状态在滑模面附近继续运动；
具体定义如下：
假设存在控制系统：$$\dot{x}=f(x,u,t)$$
确定一个切换函数$s(x)$,切换面可以表示为：$s(x)=s=0$
此处的切换面是一个超曲面，它将整个状态空间分为两个部分，如下图所示：

此时要求控制量$u$在切换面附近的切换为：
$$u=\{\begin{array}{llc}{u}^{+}(x)& s(x)>0& \\ u^{-}(x)& s(x)<0& \end{array}$$
若能满足上式，则称滑动模态存在。一种控制能称为滑模变结构控制，不仅要求滑动模态存在，同时在有限时间能达到滑模面，且过程要保持稳定。
应用滑模理论解决跟踪问题时，基本思路是通过设计关于跟踪误差的滑模函数，设计控制率使滑模函数收敛，进而保证误差的收敛，最终达到控制目的，下面进行简单说明。
设计的滑模函数为：$$s(t)=ce(t)+\dot{e}(t)$$其中$e(t)$和$\dot{e}(t)$分别为误差和误差随时间的变化率，参数$c$满足相应的参数选择条件，即大于零。
当$s(t)=0$时，滑模函数变为：
$$\dot{e}(t)/e(t)=-c$$对两侧同时积分：
$$ln(e(t)/e(0))=-ct$$最终的收敛结果为：
$$e(t)=e(0)exp(-ct)$$即$t\to \infty$时，系统误差会以指数形式收敛到0，收敛的速度与参数$c$的选择有关。则若通过设计相应的控制率使滑膜函数收敛于0，那么误差在$t\to \infty$时也可指数收敛于0。

二、几种典型的趋近率

滑模控制包含趋近运动和滑模运动，前者指系统状态从所给定的初始位置趋向切换面，后者指系统状态到达切换面时无限趋近于切换面，此过程即为$s\to \infty$的过程，合理的趋近率选择可以保证快速趋近且有效消除抖振现象，下面介绍几种典型的趋近率。

2.1等速趋近率

$$\dot{s}=-ϵsgns,ϵ>0$$$sgns$为符号函数，$ϵ$为增益参数，系统状态趋近于切换面的速度与之相关：较大的$ϵ$会使趋近速度变快，但同时产生的抖振现象也会更加明显；较小的$ϵ$会使趋近速度变慢，同时引起的抖振也会更小。

2.2指数趋近率

$$\dot{s}=-ϵsgns-ks,ϵ>0,k>0$$由上式知，指数趋近率由等效趋近率和指数项$\dot{s}=-ks$组成，其中指数项主要控制趋近的速率，较大的增益能使系统状态趋近至滑模面的时间变短，其解为$s=s(0)e^{-kt}$。

对指数趋近率进行分析，取李雅普诺夫函数：
$$V=\frac{1}{2}{s}^2$$采用指数趋近率并对上式进行求导，得到：
$$\dot{V}\le -ϵ\mid s\mid -k{s}^2=-\frac{k}{2}V-ϵ\mid s\mid \le -\frac{k}{2}V$$求解该不等式可得：
$$V(t)\le e^{-\frac{k}{2}（t-t_0)}V(t_0)$$即$V(t)$指数收敛于零，收敛速度由$k$的大小决定。在指数收敛中，收敛速度会随时间推移逐渐减小为零，这就使当系统状态接近切换面时速度较小。
倘若只存在指数趋近，系统只能无限趋近于切换面但最终无法达到，此时便无滑动模态。当引入等速趋近项$\dot{s}=-ϵsgn(s)$,此时靠近切换面时，其收敛速度是$ϵ$而非零，使其最终能达到滑模面。

2.3幂次趋近率

$$\dot{s}=-k\mid s{\mid }^{\alpha },k>0,1>\alpha >0$$

2.4一般趋近率

$$\dot{s}=-ϵsgns-f(s),ϵ>0$$上式中$f(0)=0$,当$s\ne 0$时，$sf(s)>0$,与上述三种趋近率类似，也有可以使系统 达到滑模动态的条件$s\dot{s}<0$

三、滑模方法设计转艏力矩

假定需要镇定的误差为：
$${\psi }_e=\psi +\beta -{\varphi }_F-\delta$$选取的滑模函数为：
$$s=k_1{\psi }_e+{\dot{\psi }}_e$$采用基于趋近率的滑模控制，选取指数趋近率：$$\dot{s}=-ϵtanh(s)-k_{2}s,ϵ>0,k>0$$此处对原本的趋近率做出了改进，用连续的双曲正切函数代替了符号函数，能够有效减小抖振现象，大大降低了趋近滑模面时的超调现象。
$$\dot{s}=k_1{\dot{\psi }}_e+{\ddot{\psi }}_e=k_1{\dot{\psi }}_e+\ddot{\psi }+\ddot{\beta }-{\ddot{\varphi }}_F-\ddot{\delta }$$运动学方程为：$$\dot{\psi }=qsin\varphi sec\theta +rcos\varphi sec\theta$$一般忽略横摇运动，$\varphi =0$,只考虑水平面运动，即$\theta =0$，则运动学方程变为：$$\dot{\psi }=r$$将其带入一阶导得到：$$\dot{s}=k_1{\dot{\psi }}_e+\dot{r}+\ddot{\beta }-{\ddot{\varphi }}_F-\ddot{\delta }$$结合指数趋近率有：$$-ϵtanh(s)-k_{2}s=k_1{\dot{\psi }}_e+\dot{r}+\ddot{\beta }-{\ddot{\varphi }}_F-\ddot{\delta }$$
动力学方程为：
$$N=m_r\dot{r}+d_r$$进行简单的化简：
$$\dot{r}=\frac{N-d_r}{m_r}$$再次带入一阶导中，得到：
$$-ϵtanh(s)-ks=k_1{\dot{\psi }}_e+\frac{N-d_r}{m_r}+\ddot{\beta }-{\ddot{\varphi }}_F-\ddot{\delta }$$需要设计的滑模控制率为：
$$N=m_r(-k_1{\dot{\psi }}_e-ϵtanh(s)-k_{2}s-\ddot{\beta }+{\ddot{\varphi }}_F+\ddot{\delta })+d_r$$