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可对角化

定义

定义：可对角化的线性映射
若 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 在某组基 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 下的表示矩阵为对角阵
$$\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

则称 $\phi$ 为可对角化线性变换

定义：可对角化的矩阵
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若 $A$ 相似于对角阵，即存在可逆阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 是对角阵，则称 $A$ 为可对角化矩阵

定义：几何重数和代数重数
特征子空间的维数称为该特征值的几何重数，特征值作为特征多项式根的重数称为该特征值的代数重数

性质
几何重数不大于代数重数，取等时称 $\phi$ 有完全的特征向量系

证明
设特征值 ${\lambda }_0$ 的代数重数为 $m$，几何重数为 $t$，$V_0$ 是 ${\lambda }_0$ 的特征子空间

设 { e 1 , e 2 , … , e t } \{e_1,e_2,\dots,e_t\} {e1​,e2​,…,et​} 是 $V_0$ 的一组基，则
$$\phi (e_i)={\lambda }_0{e}_i$$

扩充为 $V$ 的一组基 { e 1 , … , e t , e t + 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_t,e_{t+1},\dots,e_n\} {e1​,…,et​,et+1​,…,en​}，$\phi$ 在这组基下的表示矩阵形如
$$\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0{I}_t& \ast \\ O& B\end{array}\right)$$

故 $\phi$ 的特征多项式形如
$$|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_0{)}^t|\lambda I_{n-t}-B|$$

这表明 ${\lambda }_0$ 的代数重数至少为 $t$，即 $t\le m$

可对角化的刻画

命题：可对角化的刻画
设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，则下列等价

1. $\phi$ 可对角化
2. $\phi$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
3. $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$
4. $\phi$ 的任意特征值的代数重数等于几何重数

其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ 是 $\phi$ 的全部不同的特征值，$V_1,\dots ,V_k$ 是相应的特征子空间

证明思路

（1）推（2）：容易验证 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 是 $n$ 个线性无关的特征向量

（2）推（1）：$\phi$ 在这 $n$ 个特征向量组成的基下的表示矩阵显然为对角阵

（3）推（2）：只需取 $V_i$ 的基，拼成 $V$ 的一组基

（2）推（3）：设 $\phi$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​}

不失一般性，设这组基中前 $t_1$ 个是特征值 ${\lambda }_1$ 的特征向量，接下来 $t_2$ 个是特征值 ${\lambda }_2$ 的特征向量，……

对任意 $\alpha \in V$，设 $\alpha =a_1{e}_1+a_2{e}_2+\cdots +a_n{e}_n$，故 $V=V_1+V_2+\cdots +V_k$，由引理可得 $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$

引理
设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 的不同的特征值，则
$$V_1+V_2+\cdots +V_k=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$$

证明思路
用归纳法证明 $V_k\cap (V_1+V_2+\cdots +V_{k-1})=0$ 即可

（3）等价于（4）：设 $m_i$ 为代数重数，$t_i$ 为几何重数，注意到
$$\sum _{i=1}^n\dim V_i=\sum _{i=1}^n{t}_i\le \sum _{i=1}^n{m}_i=\dim V$$

（3）推（4）即是说 $\sum _{i=1}^n\dim V_i=\dim V$

（4）推（3）即是说 $\sum _{i=1}^n{t}_i=\sum _{i=1}^n{m}_i$

命题：可对角化的判定
若 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\phi$ 必可对角化

证明思路
首先易证线性变换 $\phi$ 属于不同特征值的特征向量必线性无关，则可取到 $n$ 个线性无关的特征向量

参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著