前言

本文全面系统地总结了机械臂轨迹规划的主要方法，包括多项式插值类方法、基于速度轮廓的方法、样条曲线类方法、优化类方法以及智能规划方法。每种方法都有其特定的应用场景和优缺点，适用于不同的工业需求和环境条件。

1. 多项式插值类方法

1.1 三次多项式插值

• 使用四个边界条件（起终点的位置和速度）
• 计算量小，实时性好
• 加速度连续性较差

三次多项式插值法是机器人轨迹规划中最基础也是应用最广泛的方法之一，它通过三次多项式函数来描述机械臂的运动轨迹，保证了位置和速度的连续性。在这种方法中，我们需要四个边界条件：起点位置、起点速度、终点位置和终点速度，通过这些条件可以唯一确定多项式的四个系数，从而得到完整的运动轨迹。由于三次多项式的计算量相对较小，它特别适合用于实时控制系统，能够快速生成平滑的运动轨迹。然而，这种方法也存在一定的局限性，主要表现在加速度的连续性方面，因为三次多项式的二阶导数（加速度）是线性的，在起点和终点可能出现加速度突变。在实际应用中，三次多项式插值法常用于工业机器人的点到点运动，特别是在对轨迹平滑度要求不是特别高但需要快速响应的场合。

数学表达式

$$\theta (t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3$$$${\theta }^{\prime }(t)=a_1+2a_{2}t+3a_3{t}^2$$

边界条件

$t=0时：$
$$\theta (0)={\theta }_0$$$${\theta }^{\prime }(0)=v_0$$

$t=T时：$
$$\theta (T)=\theta f$$$${\theta }^{\prime }(T)=vf$$

求解过程

$将边界条件代入方程:$
$${\theta }_0=a_0$$$$v_0=a_1$$$$\theta f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+a_3{T}^3$$$$vf=a_1+2a_{2}T+3a_3{T}^2$$
$解出系数a_0、a_1、a_2、a_3$

1.2 五次多项式插值

• 使用六个边界条件（位置、速度和加速度）
• 轨迹更加平滑，但计算量较大
• 保证加速度连续性
• 适用于高精度加工和对平滑度要求高的场合
• 能较好控制加加速度

五次多项式插值法是在三次多项式基础上的进一步改进，它不仅确保位置和速度的连续性，还保证了加速度的连续性，能够生成更加平滑的运动轨迹。该方法需要六个边界条件：起点和终点的位置、速度以及加速度，通过这些条件可以求解出五次多项式的六个系数，得到完整的运动轨迹。五次多项式的最大优势在于它能够很好地控制加加速度（加速度的变化率），这对于减少机械系统的振动和磨损非常重要。由于其良好的平滑性能，五次多项式插值法特别适用于高精度加工、精密装配等对运动质量要求较高的应用场合。需要注意的是，五次多项式的计算量显著大于三次多项式，在实时控制系统中可能需要更多的计算资源。在实践中，常常需要在轨迹平滑度和计算效率之间做出权衡，根据具体应用场景选择合适的多项式阶数。

数学表达式

$$\theta (t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3+a_4{t}^4+a_5{t}^5$$$${\theta }^{\prime }(t)=a_1+2a_{2}t+3a_3{t}^2+4a_4{t}^3+5a_5{t}^4$$$${\theta }^{\prime \prime }(t)=2a_2+6a_{3}t+12a_4{t}^2+20a_5{t}^3$$

边界条件

$t=0时：$
$$\theta (0)={\theta }_0$$$${\theta }^{\prime }(0)=v_0$$$${\theta }^{\prime \prime }(0)={\alpha }_0$$

$t=T时：$
$$\theta (T)=\theta f$$$${\theta }^{\prime }(T)=vf$$$${\theta }^{\prime \prime }(T)=\alpha f$$

求解过程

$将边界条件代入方程得到六个方程$
$解出系数a_0到a_5$

2. 基于速度轮廓的方法

2.1 梯形速度规划

• 速度曲线呈梯形，包含加速、匀速和减速三段
• 物理意义直观，容易实现
• 加速度呈阶跃变化，可能产生机械冲击
• 工业应用最为广泛的方法之一
• 适合对轨迹精度要求不高的场合

梯形速度规划法是一种基于速度轮廓控制的轨迹规划方法，其核心思想是将机械臂的运动过程分为加速段、匀速段和减速段三个阶段，使得速度曲线呈现梯形状。在加速段，机械臂以恒定加速度从静止开始加速，直到达到预设的最大速度；在匀速段，机械臂保持这个最大速度匀速运动；在减速段，机械臂以恒定减速度减速直至静止。这种方法的最大优点是物理意义直观，易于实现和控制，可以有效控制最大速度和加速度，避免超过系统的动力学约束。然而，由于加速度的突变（在加速段开始和结束时），可能会引起机械系统的振动和冲击。在实际应用中，梯形速度规划法被广泛应用于工业机器人的运动控制，特别是在不要求特别高的平滑度但需要精确控制运动时间的场合。通过合理设置加速度和最大速度参数，可以在保证运动性能的同时，避免过大的机械冲击。

梯形速度规划数学表达式

在时间区间 $t\in [0,T]$ 内，分为三段：

加速段 $t\in [0,t_1]$：

$$\{\begin{array}{l}a(t)=a_{max}\\ v(t)=a_{max}t\\ s(t)=\frac{1}{2}{a}_{max}{t}^2\end{array}$$

匀速段 $t\in [t_1,t_2]$：

$$\{\begin{array}{l}a(t)=0\\ v(t)=v_{max}\\ s(t)=v_{max}(t-t_1)+s(t_1)\end{array}$$

减速段 $t\in [t_2,T]$：

$$\{\begin{array}{l}a(t)=-a_{max}\\ v(t)=v_{max}-a_{max}(t-t_2)\\ s(t)=s(t_2)+v_{max}(t-t_2)-\frac{1}{2}{a}_{max}(t-t_2{)}^2\end{array}$$

2.2 S形速度规划

• 通过控制加加速度使加速度平滑变化
• 速度曲线呈S形，减少机械振动
• 运动更加平滑，但规划时间较长
• 适用于高速高精度场合
• 在高端装备中应用广泛

S形速度规划法是对梯形速度规划法的改进，其主要创新在于引入了加加速度的概念，使得加速度的变化变得平滑，从而得到S形的速度曲线。这种方法将运动过程划分为七个阶段：加加速、匀加速、减加速、匀速、加减速、匀减速和减减速，每个阶段都有明确的运动学特征和控制目标。通过控制加加速度，S形速度规划能够显著减少机械系统的振动和冲击，提高运动的平稳性和精确性。在实际应用中，S形速度规划法特别适用于高速、高精度的工业机器人系统，例如半导体制造、精密加工等领域。尽管这种方法的计算量相对较大，需要更多的计算资源和规划时间，但它所带来的平滑性能提升往往是值得的，特别是在对运动质量要求较高的场合。此外，S形速度规划还可以通过调整加加速度参数来平衡运动时间和平滑度之间的关系，为不同应用场景提供灵活的解决方案。

S形速度规划基本数学表达式

加加速段 $t\in [0,t_1]$：

$$\{\begin{array}{l}j(t)=j_{max}\\ a(t)=j_{max}t\\ v(t)=\frac{1}{2}{j}_{max}{t}^2\\ s(t)=\frac{1}{6}{j}_{max}{t}^3\end{array}$$

匀加速段 $t\in [t_1,t_2]$：

$$\{\begin{array}{l}j(t)=0\\ a(t)=a_{max}\\ v(t)=a_{max}t+v(t_1)\\ s(t)=\frac{1}{2}{a}_{max}{t}^2+v(t_1)t+s(t_1)\end{array}$$

减加速段 $t\in [t_2,t_3]$：

$$\{\begin{array}{l}j(t)=-j_{max}\\ a(t)=a_{max}-j_{max}(t-t_2)\\ v(t)=v(t_2)+a_{max}(t-t_2)-\frac{1}{2}{j}_{max}(t-t_2{)}^2\\ s(t)=s(t_2)+v(t_2)(t-t_2)+\frac{1}{2}{a}_{max}(t-t_2{)}^2-\frac{1}{6}{j}_{max}(t-t_2{)}^3\end{array}$$

3. 样条曲线类方法

3.1 B样条曲线

• 具有良好的局部调整能力
• 保证高阶导数的连续性
• 适合多点轨迹规划
• 计算效率较高
• 广泛应用于连续轨迹跟踪

B样条曲线规划法是一种强大的几何轨迹规划工具，它通过一系列控制点来定义光滑的曲线，具有良好的局部控制性和高阶导数连续性。这种方法的核心优势在于能够通过调整控制点的位置和基函数的阶数来灵活控制曲线的形状和性质，而且计算效率较高。在实际应用中，B样条曲线特别适合处理多点轨迹规划问题，可以生成通过或接近多个路径点的平滑轨迹。由于B样条曲线具有局部修改特性，即修改某个控制点只会影响曲线的局部形状，这使得它特别适合于轨迹的实时调整和优化。在高端制造、机器人加工等领域，B样条曲线规划法被广泛应用于连续轨迹的生成和控制，能够满足复杂路径规划的需求。此外，B样条曲线还可以与其他轨迹规划方法结合使用，例如可以用B样条生成空间路径，然后用S形速度规划来控制运动规律，从而实现更好的规划效果。

B样条基函数的递归定义：

对于 $p=0$ 时：
$$N_{i,0}(u)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{u}_i\le u<u_{i+1}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

对于 $p>0$ 时：
$$N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}(u)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}(u)$$

B样条曲线的表达式：

$$C(u)=\sum _{i=0}^n{P}_i{N}_{i,p}(u),u\in [u_p,u_{n+1}]$$

其中 $P_i$ 为控制点，$n$ 为控制点数量减1。

3.2 NURBS曲线

• 比B样条更灵活的权重控制
• 能精确表达圆锥曲线
• 工业标准的几何描述方法
• 适合复杂曲线的精确描述
• 在CAD/CAM系统中广泛应用

NURBS曲线是计算机辅助几何设计中最重要的数学工具之一，它通过控制点、节点向量和权重三个要素来定义复杂的几何形状，具有极强的数学表达能力和几何直观性。相比普通的B样条曲线，NURBS曲线引入了权重的概念，这使得它能够精确表达各种几何形状，包括直线、圆锥曲线等，这种特性在工业设计和精密加工中特别重要。在机器人轨迹规划中，NURBS曲线的另一个重要优势是其具有良好的局部控制性，通过调整控制点的位置和权重，可以精确控制轨迹的局部形状而不影响其他部分。NURBS曲线还具有参数化和几何不变性的特点，这意味着即使对曲线进行旋转、平移等仿射变换，其数学特性仍然保持不变，这对于机器人在不同工作空间进行轨迹规划非常有利。在实际应用中，NURBS曲线规划法通常与其他运动控制方法（如速度规划）结合使用，形成完整的轨迹规划解决方案。此外，由于NURBS是工业标准的几何描述方法，它能够与CAD/CAM系统无缝集成，特别适合用于加工制造领域的轨迹规划。

有理基函数：

$$R_{i,p}(u)=\frac{w_i{N}_{i,p}(u)}{{\sum }_{j=0}^n{w}_j{N}_{j,p}(u)}$$

NURBS曲线的表达式：

$$C(u)=\frac{{\sum }_{i=0}^n{w}_i{P}_i{N}_{i,p}(u)}{{\sum }_{i=0}^n{w}_i{N}_{i,p}(u)},u\in [u_p,u_{n+1}]$$

其中：

• $P_i$ 为控制点
• $w_i$ 为权重因子
• $N_{i,p}(u)$ 为p次B样条基函数
• $u$ 为参数，通常归一化到 $[0,1]$ 区间
• $n$ 为控制点数量减1
• $p$ 为曲线次数

特殊情况下，当所有权重 $w_i=1$ 时，NURBS曲线退化为B样条曲线：
$$C(u)=\sum _{i=0}^n{P}_i{N}_{i,p}(u)$$

4. 优化类方法

4.1 最小时间优化

• 在约束条件下寻求最短运动时间
• 考虑动力学和运动学约束
• 计算量大，一般离线规划
• 适合对效率要求高的场合
• 常用于工业生产线优化

最小时间优化规划是一种追求运动执行时间最短的轨迹规划方法，它通过建立以时间为目标函数的优化问题，同时考虑机器人的动力学和运动学约束，求解最快完成任务的运动轨迹。这种方法的核心是将轨迹规划问题转化为最优控制问题，通过庞特里亚金最大原理或数值优化方法求解最优轨迹，在实际应用中常用于提高工业生产效率。由于需要考虑机器人的各种物理约束（如关节速度限制、加速度限制、电机转矩限制等），最小时间优化规划通常需要建立完整的机器人动力学模型，这使得问题的求解变得相当复杂。在求解过程中，算法会自动寻找各个执行器的最优加速和减速时刻，使得机器人在不违反约束的情况下以最快速度完成运动。最小时间优化规划特别适用于工业生产线优化、装配线自动化等对效率要求极高的场合，但由于计算量大，通常需要离线规划。同时，这种方法还需要考虑实际执行的可行性，因为理论上的最短时间轨迹可能会导致机械系统过度损耗或振动。

最小时间优化规划数学表达式

优化目标：

$$\underset{u(t)}{\min }T={\int }_0^{T}dt$$

约束条件：

$$\{\begin{array}{ll}\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))& \text{动力学约束}\\ x(0)=x_0,x(T)=x_f& \text{边界条件}\\ |u(t)|\le u_{max}& \text{控制约束}\\ |v(t)|\le v_{max}& \text{速度约束}\\ |a(t)|\le a_{max}& \text{加速度约束}\end{array}$$

Hamilton函数：

$$H(x,u,\lambda ,t)=1+{\lambda }^{T}f(x,u)$$

最优性条件（基于庞特里亚金最大原理）：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}^{\ast }=\frac{\partial H}{\partial \lambda }\\ {\dot{\lambda }}^{\ast }=-\frac{\partial H}{\partial x}\\ u^{\ast }=\arg {\min }_{u}H(x^{\ast },u,{\lambda }^{\ast },t)\end{array}$$

4.2 最小能量优化

• 以最小能量消耗为优化目标
• 考虑机器人动力学模型
• 得到能量效率最高的轨迹
• 适合对能耗敏感的应用
• 在移动机器人中应用较多

最小能量优化规划方法着眼于降低机器人运动过程中的能量消耗，它通过建立以能量消耗为优化目标的数学模型，同时考虑任务完成的约束条件，求解能量效率最优的运动轨迹。这种方法需要准确建立机器人的动力学模型，包括电机特性、机械传动效率、摩擦损耗等因素，从而能够准确评估不同运动轨迹的能量消耗。在优化过程中，算法会权衡运动时间和能量消耗之间的关系，因为过快的运动会导致能量消耗急剧增加，而过慢的运动又会降低工作效率。最小能量优化规划特别适用于电池供电的移动机器人、空间机器人等能源受限的场合，通过优化可以显著延长机器人的工作时间。除了降低能耗，这种方法还能够减少机械系统的磨损，因为最优能量轨迹通常对应着较为平缓的运动过程。在实际应用中，最小能量优化经常需要与其他优化目标（如精度要求、时间约束等）进行多目标优化，以寻找最佳的折中方案。

最小能量优化规划数学表达式

优化目标：

$$\underset{u(t)}{\min }J={\int }_0^T\sum _{i=1}^n{k}_i{u}_i^2(t)dt$$

约束条件：

$$\{\begin{array}{ll}\ddot{q}=M^{-1}(q)(\tau -C(q,\dot{q})\dot{q}-G(q))& \text{机器人动力学}\\ q(0)=q_0,q(T)=q_f& \text{位置边界条件}\\ \dot{q}(0)={\dot{q}}_0,\dot{q}(T)={\dot{q}}_f& \text{速度边界条件}\\ |q_i(t)|\le q_{i,max}& \text{位置约束}\\ |{\dot{q}}_i(t)|\le {\dot{q}}_{i,max}& \text{速度约束}\\ |{\tau }_i(t)|\le {\tau }_{i,max}& \text{转矩约束}\end{array}$$

其中：

• $k_i$：权重系数
• $M(q)$：惯性矩阵
• $C(q,\dot{q})$：科氏力矩阵
• $G(q)$：重力矩阵
• $\tau$：关节转矩

5. 智能规划方法

5.1 基于人工势场

• 构建虚拟势场进行避障
• 计算简单，适合实时规划
• 可能陷入局部最小值
• 适合动态环境下的避障
• 在移动机器人中应用广泛

人工势场法是一种直观而高效的轨迹规划方法，它通过构建虚拟的势场来引导机器人运动，其中目标点产生吸引力场，而障碍物产生排斥力场，机器人在合力的作用下自然地移动到目标位置。这种方法的最大优势是计算简单、响应迅速，特别适合在动态环境中进行实时避障和轨迹调整。在实际应用中，人工势场法需要精心设计势场函数，包括吸引势场和排斥势场的形式、势场参数的选择等，这直接影响到规划的效果。人工势场法虽然简单有效，但也存在一些固有的局限性，最典型的就是局部最小值问题，即机器人可能在障碍物形成的势场中陷入局部平衡位置而无法达到目标。为了克服这些局限性，研究人员提出了多种改进方法，如引入随机扰动、动态调整势场参数、结合其他规划方法等。在移动机器人导航、多机器人协同控制等领域，人工势场法仍然是一种实用的轨迹规划方法。

基于人工势场法的规划数学表达式

总势场函数：

$$U_{total}(q)=U_{att}(q)+U_{rep}(q)$$

引力势场：

$$U_{att}(q)=\frac{1}{2}{k}_{att}\Vert q-q_{goal}{\Vert }^2$$

斥力势场：

$$U_{rep}(q)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{k}_{rep}(\frac{1}{\rho (q)}-\frac{1}{{\rho }_0}{)}^2& \text{if }\rho (q)\le {\rho }_0\\ 0& \text{if }\rho (q)>{\rho }_0\end{array}$$

虚拟力：

$$\{\begin{array}{l}{F}_{att}(q)=-\nabla U_{att}(q)=-k_{att}(q-q_{goal})\\ F_{rep}(q)=-\nabla U_{rep}(q)=k_{rep}(\frac{1}{\rho (q)}-\frac{1}{{\rho }_0})\frac{1}{{\rho }^2(q)}\nabla \rho (q)\end{array}$$

其中：

• $q$：机器人当前位置
• $q_{goal}$：目标位置
• $\rho (q)$：到最近障碍物的距离
• ${\rho }_0$：斥力势场的影响范围
• $k_{att},k_{rep}$：引力和斥力增益系数

基于学习的方法

• 利用历史数据学习最优轨迹
• 能适应复杂的环境约束
• 需要大量训练数据
• 适合重复性任务
• 是未来发展的重要方向

基于学习的轨迹规划是人工智能技术在机器人领域的重要应用，它通过深度学习、强化学习等先进的机器学习方法，从大量的历史数据或交互经验中学习最优的规划策略。这种方法的核心优势在于能够处理高度非线性和不确定性的环境，通过端到端的学习方式自动发现最优的规划策略，而不需要显式地建模环境和约束。在训练阶段，系统需要大量的数据或仿真环境来学习不同场景下的最优轨迹，这个过程可能很耗时，但一旦训练完成，就能够快速生成高质量的轨迹。基于学习的方法特别适合处理那些传统方法难以建模的复杂问题，如考虑动力学约束的实时避障、基于视觉的轨迹规划等。在实际应用中，基于学习的方法通常需要结合传统规划方法的优点，形成混合式的规划框架，既保证了系统的可靠性，又提供了处理复杂场景的能力。随着深度学习和强化学习技术的不断发展，这种方法在机器人轨迹规划领域的应用将会越来越广泛，尤其是在需要智能决策和环境适应的场合。

5.2 基于学习的规划数学表达式

深度强化学习框架：

状态值函数：

$$V_{\pi }(s)={\mathbb{E}}_{\pi }[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t|s_0=s]$$

动作值函数：

$$Q_{\pi }(s,a)={\mathbb{E}}_{\pi }[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t|s_0=s,a_0=a]$$

策略优化目标：

$$J(\theta )={\mathbb{E}}_{s\sim {\rho }_{\pi },a\sim {\pi }_{\theta }}[Q_{\pi }(s,a)]$$

策略梯度更新：

$${\nabla }_{\theta }J(\theta )={\mathbb{E}}_{s\sim {\rho }_{\pi },a\sim {\pi }_{\theta }}[{\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }(a|s)Q_{\pi }(s,a)]$$

其中：

• $s$：状态
• $a$：动作
• $r$：奖励
• $\gamma$：折扣因子
• $\pi$：策略
• $\theta$：策略网络参数
• ${\rho }_{\pi }$：状态分布

行为克隆（模仿学习）：

$$\underset{\theta }{\min }{\mathbb{E}}_{(s,a)\sim \mathcal{D}}[-\log {\pi }_{\theta }(a|s)]$$

其中 $\mathcal{D}$ 是专家演示数据集。

总结

每种方法都有其特定的应用场景和优缺点：

• 如果强调实时性和计算效率，可以选择三次多项式插值或梯形速度规划
• 如果要求高精度和平滑度，可以选择五次多项式插值或S形速度规划
• 如果需要复杂路径规划，可以选择样条曲线方法
• 如果追求某种最优性能，可以选择优化类方法
• 如果面对动态环境，可以选择智能规划方法

在实际应用中，往往需要根据具体需求综合使用多种方法。比如可以用样条曲线生成基本路径，然后用S形速度规划控制运动规律，最后通过优化算法进行微调。这种混合方法能够充分发挥各种规划方法的优势，实现更好的规划效果。