什么是零阶优化？

零阶优化（Zero-Order Optimization）是一种优化方法，用于在没有显式梯度信息的情况下优化目标函数。与常见的梯度下降法不同，零阶优化不依赖于目标函数的梯度，而是通过直接评估目标函数值来引导优化过程。这种方法特别适用于那些目标函数不可导、复杂或未知的情况。

零阶优化的应用

零阶优化可以应用于许多实际问题，例如：

• 超参数调优：在机器学习中优化模型的超参数。
• 黑箱函数优化：优化无法解析或计算其梯度的复杂函数。
• 提示优化：在自然语言处理任务中优化语言模型的输入提示。

零阶优化的数学原理

零阶优化的核心思想是通过采样和评估目标函数值来寻找最优解。以下是零阶优化的一般步骤：

1. 采样（Sampling）： 在搜索空间内选取若干点。这些点可以是随机的，也可以是基于某种策略生成的。
2. 评估（Evaluation）： 计算每个采样点的目标函数值。
3. 更新（Update）： 根据评估结果，选择新的采样点来迭代优化过程。

常见零阶优化方法

1. 随机搜索（Random Search）：

随机搜索（Random Search）是一种简单的零阶优化方法，通过在搜索空间内随机选择点并评估其目标函数值，来找到最优解。

• 步骤： 在整个搜索空间内随机生成若干点 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ，计算每个点的函数值 $f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n)$ ，选择函数值最小（或最大）的点作为下一次迭代的起点。
• 公式：
  x ∗ = arg ⁡ min ⁡ x i ∈ { x 1 , x 2 , … , x n } f ( x i ) x^* = \arg\min_{x_i \in \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}} f(x_i) x∗=argxi​∈{x1​,x2​,…,xn​}min​f(xi​)
• 特点： 简单直接，但全局搜索能力较弱，收敛速度较慢。
• 举例：
  
  假设我们要最小化目标函数 $f(x)=(x-3{)}^2$，搜索空间为 $[0,10]$。
  
  初始化：
  随机生成 5 个点 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，假设它们分别是 $1,5,7,2,8$。
  
  评估：
  计算每个采样点的目标函数值。：
  • $f(1)=(1-3{)}^2=4$
  • $f(5)=(5-3{)}^2=4$
  • $f(7)=(7-3{)}^2=16$
  • $f(2)=(2-3{)}^2=1$
  • $f(8)=(8-3{)}^2=25$
    
    选择最优点：
    选择 $x_4=2$，因为 $f(2)=1$ 最小。
    
    通过以上步骤，我们找到了一个较优的点 $x=2$，但由于随机搜索的性质，还可以继续生成新点来进一步优化。

2. 模拟退火（Simulated Annealing）：

模拟退火（Simulated Annealing）是一种全局优化算法，通过模拟物理退火过程来避免陷入局部最优。其基本原理是：在优化 初期允许接受劣解 ，从而进行广泛的全局搜索；随着迭代的进行，逐渐减少接受劣解的概率，最终收敛到最优解。

• 步骤： 在随机搜索的基础上，通过引入温度参数 ( T ) 控制接受劣解的概率，从而在搜索早期进行全局探索，后期逐步收敛到最优解。
• 公式：
  $$P(\text{accept}{x}_{\text{new}})=\exp \left(-\frac{f(x_{\text{new}})-f(x^{\ast })}{T}\right)$$
  其中：
  • 当前最优解 $x^{\ast }$
  • 新解 $x_{\text{new}}$
  • $f(x_{\text{new}})$ 是新解的目标函数值。
  • $f(x^{\ast })$ 是当前最优解的目标函数值。
  • $T$ 是温度参数，随着迭代次数增加逐渐减小。

这个公式描述了接受新解 $x_{\text{new}}$ 的概率。如果 $f(x_{\text{new}})$ 比 $f(x^{\ast })$ 小（即新解更优），接受概率接近 1。如果 $f(x_{\text{new}})$ 比 $f(x^{\ast })$ 大（即新解更差），接受概率会随着温度 $T$ 的降低而减小。

• 特点： 能够避免陷入局部最优，适合全局优化。
• 举例：
  
  假设我们正在优化一个函数 $f(x)$，当前最优解 $x^{\ast }=3$，目标函数值 $f(x^{\ast })=10$。现在生成一个新解 $x_{\text{new}}=4$，其目标函数值 $f(x_{\text{new}})=12$。假设当前温度 $T=5$。
  
  计算接受概率：
  $$P(\text{accept}{x}_{\text{new}})=\exp \left(-\frac{12-10}{5}\right)=\exp (-0.4)\approx 0.67$$
  尽管新解更差，仍有 67% 的概率接受它，以避免局部最优。

3. 进化算法（Evolutionary Algorithms）：

进化算法（Evolutionary Algorithms）模拟生物进化过程，通过选择、变异和交叉操作生成新解。其基本原理是：在一代代的迭代过程中，通过模拟自然选择，优胜劣汰，逐步逼近最优解。

• 步骤： 模拟生物进化过程，通过选择、变异和交叉操作生成新解，并通过适应度函数（即目标函数值）评估新解的优劣。
• 公式：
  $$x_{\text{new}}=\text{mutate}(\text{crossover}(x_1,x_2))$$
  其中：
  • $x_1$ 和 $x_2$ 是两个父代个体。
  • 交叉（Crossover）： 将 $x_1$ 和 $x_2$ 的部分基因组合生成新个体。
  • 变异（Mutate）： 对新个体进行小幅度的随机调整。
• 特点： 适用于复杂和多模态问题。
• 举例：
  
  假设我们有两个父代个体 $x_1=[1,0,1,1]$ 和 $x_2=[0,1,0,1]$。
  
  交叉： 取前两位来自 $x_1$，后两位来自 $x_2$，生成新个体 $x_{\text{cross}}=[1,0,0,1]$
  
  变异： 随机选取一个位置进行变异，例如将第三位由 0 变为 1，得到新个体 $x_{\text{new}}=[1,0,1,1]$。

零阶优化在语言模型（LM）中的应用

在语言模型的优化中，我们可以通过零阶优化来搜索最优提示或输入，使得模型在特定任务上表现更好。以下是一个示例流程：

1. 定义目标函数： 对于文本生成任务，可以将生成文本的质量（如可读性、相关性）作为目标函数。

   • 目标函数示例：
     $$\text{Score}(x)=\alpha \cdot \text{BLEU}(x)+\beta \cdot \text{用户评分}(x)$$

2. 初始化搜索空间： 确定提示或输入的可能范围，这可以是离散的（如不同的关键词组合）或连续的（如词嵌入的调整）。

   • 关键词库： 列出一组可能的关键词或短语作为搜索空间的初始点。
   • 嵌入空间： 使用词嵌入来初始化搜索空间。

问题一：“使用词嵌入来初始化搜索空间”是什么？

词嵌入（Word Embedding）是一种将词汇映射到 实数向量空间 的技术，使得具有相似含义的词在向量空间中距离较近。常见的词嵌入方法包括 Word2Vec、GloVe 和 FastText。

在零阶优化中，使用词嵌入来初始化搜索空间的意思是将语言模型的输入提示表示为词嵌入向量，然后在这些向量空间中进行搜索和优化。这种方法可以使搜索更加高效，因为词嵌入空间中的相似词汇会聚集在一起，有助于找到语义上合理的提示。

3. 采样和评估：

   • 采样： 随机选择若干提示或输入。
   • 评估： 使用语言模型生成文本，并根据定义的目标函数计算每个生成文本的得分。

4. 选择和更新： 根据评估结果，选择得分最高的提示或输入，并在下一次迭代中围绕这些点进行进一步采样和评估。

5. 迭代优化： 重复上述步骤，逐步收敛到最优提示或输入。

示例：零阶优化在提示搜索中的应用

假设我们希望通过提示优化来提升语言模型在问答任务中的表现：

1. 定义目标函数： 可以是回答的准确性或用户满意度评分。
2. 初始化搜索空间： 提示的可能组合，例如 “Explain…”, “What is…” 等等。
3. 采样和评估：
   • 采样： 随机生成若干提示组合。
   • 评估： 对每个提示组合，使用语言模型生成回答，并计算回答的准确性评分。
4. 选择和更新： 选择评分最高的提示组合，并在下一轮采样中基于这些提示进行更精细的搜索。
5. 迭代优化： 持续迭代，直到找到最优提示组合。

通过这种方式，零阶优化可以帮助我们在没有明确梯度信息的情况下，通过直接评估模型输出来优化提示或输入，从而提升语言模型在特定任务上的表现。