【位运算反证法试填法】2897.对数组执行操作使平方和最大

算法可以发掘本质，如：
一，若干师傅和徒弟互有好感，有好感的师徒可以结对学习。师傅和徒弟都只能参加一个对子。如何让对子最多。
二，有无限多1X2和2X1的骨牌，某个棋盘若干格子坏了，如何在没有坏的格子放足够多骨牌。
三，某个单色图，1表示前前景，0表示后景色。每次操作可以将一个1，变成0。如何在最少得操作情况下，使得没有两个1相邻（四连通）。
四，若干路人，有些人是熟人，如何选出最多的人参加实验。为了避免熟人影响实验的效果，参加的人不能是熟人。
一二是二分图的最大匹配，三是二分图的最小点覆盖，四是二分图最大独立集。而这三者是等效问题。

本文涉及知识点

位运算反证法试填法

LeetCode2897对数组执行操作使平方和最大

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个正整数 k 。
你可以对数组执行以下操作任意次：
选择两个互不相同的下标 i 和 j ，同时将 nums[i] 更新为 (nums[i] AND nums[j]) 且将 nums[j] 更新为 (nums[i] OR nums[j]) ，OR 表示按位或运算，AND 表示按位与运算。
你需要从最终的数组里选择 k 个元素，并计算它们的平方之和。
请你返回你可以得到的最大平方和。
由于答案可能会很大，将答案对 109 + 7 取余后返回。
示例 1：
输入：nums = [2,6,5,8], k = 2
输出：261
解释：我们可以对数组执行以下操作：

选择 i = 0 和 j = 3 ，同时将 nums[0] 变为 (2 AND 8) = 0 且 nums[3] 变为 (2 OR 8) = 10 ，结果数组为 nums = [0,6,5,10] 。
选择 i = 2 和 j = 3 ，同时将 nums[2] 变为 (5 AND 10) = 0 且 nums[3] 变为 (5 OR 10) = 15 ，结果数组为 nums = [0,6,0,15] 。
从最终数组里选择元素 15 和 6 ，平方和为 152 + 62 = 261 。
261 是可以得到的最大结果。
示例 2：

输入：nums = [4,5,4,7], k = 3
输出：90
解释：不需要执行任何操作。
选择元素 7 ，5 和 4 ，平方和为 72 + 52 + 42 = 90 。
90 是可以得到的最大结果。

提示：
1 <= k <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i] <= 10⁹

位运算

性质一：假定某个最优解是res，res已经按升序排序。如果res.back()的某个二进制位为0，则整个res的此二进制位必定为0。反证法证明：
令 a < b，x = 1 << i ，a的第i个二进制位为1,b的第i个二进制位为0。
则两者之和为：y1= a²+b²
将a的对应1移到b后，两者之和为：
y2=(a-x)²+(b+x)² = a²-2ax+x²+ b²+2bx+x²
y2-y1 = 2bx-2ax +2x²
2x² > 0，且b >a ，则2bx-2ax> 0
故y2>y1。
同理删除res 最后的一个元素，余下元素也符合要求。
结论： res[i]的某个二进制位为0，则此二进制为res[j]也为0，j <i。

原理

题中的操作将nums[j]的二进值1移到nums[i]。
操作方式：
将所有nums[j]的1全部移到nums[0] j > 0
将所有nums[j]的1全部移到nums[1] j > 1
$\vdots$

思路

统计各二进制为1的个数。
从到大小构建res，如果cnt[j] > 0 则，第j位1，cnt[j]–；否则第j位为0。
初始化时间复杂度：O(nlog(max(n))
处理时间复杂度：O(klog(maxx(n))，处理时间可以优化到O(og(maxx(n)og(maxx(n)),因为除掉重复元素顶多log(max(n))个数，不同的数至少少一个二进制一。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int maxSum(vector<int>& nums, int k) {const int iBitCnt = 31;int cnt[iBitCnt] = { 0 };for (const auto& n : nums) {for (int j = 0; j < iBitCnt; j++) {if ((1 << j) & n) {cnt[j]++;}}}C1097Int<> biRet;while (k--) {int cur = 0;for (int j = 0; j < iBitCnt; j++) {if (cnt[j]) {cur |= (1 << j);cnt[j]--;}}biRet += (long long)cur * cur;}return biRet.ToInt();}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{vector<int> nums;int k;{Solution sln;nums = { 2,6,5,8 }, k = 2;auto res = sln.maxSum(nums, k);Assert(261, res);}{Solution sln;nums = { 4,5,4,7 }, k = 3;auto res = sln.maxSum(nums, k);Assert(90, res);}
}

扩展阅读

视频课程

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛