2数字图像基础

2.4图像取样和量化

2.4.4图像内插

内插是在诸如放大、收缩、旋转和几何校正制圭务中广泛应用的本工具。

最近邻内差法。我们用一个简单的例子开始讨论该话题 假设一幅大小为 500x500像素的图像要放大 1.5 倍到750x750 像素。一种简单的放大方法是创建一个假想的750x750 网格，它与原始图像有相同的间隔，然后将其收缩，使它准确地与原图像匹配。 显然，收缩后的750x 750 网格的像素间隔要小于原图像的像素间隔。为了对覆盖的每一个点赋以灰度值，我们在原图像中找最接近的像素，并把该像素的灰度赋给750x750网格中的新像素。当我们完成对网格中覆盖的所有点的灰度赋值后，就把图像扩展到原来规定的大小，得到放大后的图像。

# 预处理显示
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def cv2_show(*args):for ttt in range(len(args)):img=args[ttt]cv2.imshow('img', img)cv2.waitKey(0)    cv2.destroyAllWindows() def plt_show(*args):for ttt in range(len(args)):img = args[ttt]if (len(img.shape) == 3):img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_RGB2BGR)elif (len(img.shape) == 2):img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_GRAY2RGB)plt.subplot(231+ttt), plt.imshow(img)

最近邻内差法：

img = cv2.imread('lena.jpg')
print(img.shape)  # (263, 263, 3)
img = np.array(img)
img2 = np.zeros([1052, 1052, 3], dtype=np.uint8)print(img2.shape)#(1052, 1052, 3)
for i in range(len(img2)):for j in range(len(img2[i])):for k in range(len(img2[i][j])):img2[i][j][k] = (img[int(i/4)][int(j/4)][k])
cv2.imwrite('lena2.jpg',img2)

原图和放大图（有些失真）：

双线性内插 $v(x,y)=ax+by+cxy+d$ ，见2.6.5空间操作的图像配准

双三次内插$v(x,y)=\sum _{i=0}^3\sum _{j=0}^3{a}_{ij}{x}^i{y}^j$ （为商业图像编辑程序标准内插法）

2.5像素间的一些基本关系

2.5.1相邻像素

上下左右这组像素，称之为4邻域$N_4(p)$
四个对角相邻像素，$N_D(p)$
$N_4(p)$+$N_D(p)$，称之为8邻域$N_8(p)$

2.5.2邻接性、连通性、区域和边界

令V是用于定义邻接性的灰度值集合

(a)4邻接。如果q在集合$N_4(p)$中，则具有V中数值的两个像素p和q是4邻接的。
(b)8邻接。如果q在集合$N_8(p)$中，则具有V中数值的两个像素p和q是8邻接的。
©m邻接(混合邻接)。如果(i)q在$N_4(p)$中,或(ii)q在$N_D(p)$中，且集合$N_4(p)、N_D(p)$中没有来自V中数值的像素,则具有V中数值的两个像素p和q是m邻接的。

假设p$(x_0,y_0)$到q$(x_n,y_n)$的路径是$(x_0,y_0)$、$(x_1,y_1)$…$(x_n,y_n)$，称之为通路，其长度为$n$。

像素集S的全部像素存在一个通路，则称像素p和q在S中连通。对于S中的像素p，S中连通到p的所有像素为S的连通分量。如果S仅有一个连通分量，则称之为连通集。

如果R是连通集（像素子集），则称R为区域。
如果两个区域$R_i$和$R_j$临界，则称之它们为邻接区域，反之则不连接区域。

假设一幅图有K个不连接区域（R_1,R_2,…,R_k），且不接触图像边缘。$R_u$为其并集，$(R_u{)}^C$为并集的补集，则$R_u$的点为图像的前景，$(R_u{)}^C$的点为图像的背景。

2.5.3距离度量

设$p(x,y),q(s,t),z(v,w)$

欧氏距离$D_e(p,q)={\left[(x-s{)}^2+(y-t{)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}$

城市街区距离$D_4(p,q)=\left|x-s\right|+\left|y-t\right|$

棋盘距离$D_8(p,q)=\max (|x-s|,|y-t|)$

2.6 数字图像处理

2.6.1阵列和矩阵操作

假设两个图像$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& & a_{12}\\ a_{21}& & a_{22}\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& & b_{12}\\ b_{21}& & b_{22}\end{array}\right]$

阵列相乘：$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& & a_{12}\\ a_{21}& & a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& & b_{12}\\ b_{21}& & b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}& & a_{12}{b}_{12}\\ a_{21}{b}_{21}& & a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]$

矩阵相乘：$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& & a_{12}\\ a_{21}& & a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& & b_{12}\\ b_{21}& & b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& & a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& & a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]$

2.6.2线性操作和非线性操作

输入$f(x,y)$，输出$g(x,y)$： $H\left[\begin{array}{c}f(x,y)\end{array}\right]=g(x,y)$。
如果$$H[a_i{f}_i(x,y)+a_j{f}_j(x,y)]=a_{i}H[f_i(x,y)]+a_{j}H[f_j(x,y)]=a_i{g}_i(x,y)+a_j{g}_j(x,y)$$，则其为线性。含有两个特性：加性和同质性。
非线性：如最大值操作。

2.6.3算术操作

四种算术操作： $$\begin{array}{c}s(x,y)=f(x,y)+g(x,y)\\ d(x,y)=f(x,y)-g(x,y)\\ p(x,y)=f(x,y)\times g(x,y)\\ v(x,y)=f(x,y)÷g(x,y)\end{array}$$

例2.5针对降噪的带噪图像相加（平均）
令$g(x,y)$ 是图像$f(x,y)$ 被$\eta (x,y)$ 污染后的图像，即$$g(x,y)=f(x,y)+\eta (x,y)$$ 假设噪声不相关，其均值为零，有K幅图像。
则$$\overline{g}(x,y)=\frac{1}{K}\sum _{i=1}^K{g}_i(x,y)$$ $$E\{\overline{g}(x,y)\}=f(x,y)$$ $${\sigma }_{\bar{g}(x,y)}^2=\frac{1}{K}{\sigma }_{g(x,y)}^2=\frac{1}{K}{\sigma }_{\eta (x,y)}^2$$ 即$${\sigma }_{\overline{g}(x,y)}=\frac{1}{\sqrt{K}}{\sigma }_{\eta (x,y)}$$随着K增大， E { g ˉ ( x , y ) } = f ( x , y ) E\{\bar{g}(x,y)\}=f(x,y) E{gˉ​(x,y)}=f(x,y)

例2.6增强差别的图像相减

$$g(x,y)=f(x,y)-h(x,y)$$

例2.7 使用图像相乘相除来校正阴影

1. 相乘
2. $f_m=f-\min (f)$
3. $f_s=K\times \frac{f_m}{\max (f_m)}$ 映射到[0,K]

img = cv2.imread('tooth.png', 0)
img2 = cv2.imread('ROI.png', 0)new_img = np.zeros([291, 407])
for i in range(len(img2)):for j in range(len(img2[i])):new_img[i][j] = 1.0*img[i][j]*img2[i][j]  # 1: multiplymin_f = min([min(v) for v in new_img]) 
for i in range(len(new_img)):for j in range(len(new_img)):new_img[i][j] -= min_f  # 2: f_m=f-f_minmax_f = max([max(v) for v in new_img])
for i in range(len(new_img)):for j in range(len(new_img[i])):new_img[i][j] = int(255*(new_img[i][j]/max_f))  # 3: f_s=k*f_m/f_max
new_img = new_img.astype(np.uint8)
cv2.imwrite(img=new_img, filename='ans.png')
plt_show(img, img2, new_img)

2.6.5空间操作

几何空间变换

$$\begin{gathered} 仿射变换 \\ \begin{array}{ccc}变换名称& 仿射矩阵& 坐标公式\\ 恒等变换& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \begin{array}{c}x=v\\ y=w\end{array}\\ 尺度变换& \left[\begin{array}{ccc}{c}_x& 0& 0\\ 0& c_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \begin{array}{c}x=c_{x}v\\ y=c_{y}w\end{array}\\ 旋转变换& \left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \begin{array}{c}x=v\cos \theta -w\sin \theta \\ y=v\sin \theta +w\cos \theta \end{array}\\ 平移变换& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ t_x& t_y& 1\end{array}\right]& \begin{array}{c}x=v+t_x\\ y=w+t_y\end{array}\\ 垂直偏移变换& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ s_v& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \begin{array}{c}x=v+s_{v}w\\ y=w\end{array}\\ 水平偏移变换& \left[\begin{array}{ccc}1& s_h& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \begin{array}{c}x=v\\ y=s_{h}v+w\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

进行恒等变换、尺度变换、旋转变换、平移变换、垂直变换、水平变换

import mathimg = cv2.imread('cv2.png', 0)
n, m = img.shape
n += 100
m += 100
points = []
for i in range(len(img)):for j in range(len(img[0])):if img[i][j]:points.append([i, j])
angle = 3.14/6
mats = [np.array([1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1]).reshape(3, 3),  # 恒等变换np.array([1.2, 0, 0, 0, 1.2, 0, 0, 0, 1]).reshape(3, 3),  # 尺度变换np.array([math.cos(angle), math.sin(angle), 0,  # 旋转变换-math.sin(angle), math.cos(angle), 0,0, 0, 1]).reshape(3, 3),np.array([1, 0, 0, 0, 1, 0, 30, 50, 1]).reshape(3, 3),  # 平移变换np.array([1, 0, 0, 1.1, 1, 0, 0, 0, 1]).reshape(3, 3),  # 垂直变换np.array([1, 1.1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1]).reshape(3, 3),  # 水平变换]
imgs = []for mat in mats:img_t = np.zeros([n, m])for v, w in points:x, y, z = np.dot([v, w, 1], mat)try:  # 避免新坐标越界img_t[int(x)][int(y)] = 254except:passimgs.append(img_t.astype(np.uint8))
plt_show(imgs[0], imgs[1], imgs[2], imgs[3], imgs[4], imgs[5])

在上图旋转中，旋转时并不是以图片中心为旋转中心，而是以(0,0)为中心，使得中心目标偏移了中心位置。
为使得原目标仍在中心应当（多出1和3步骤）：

1. 坐标应该扣去中心位置
2. 旋转
3. 坐标加上中心位置

import mathimg = cv2.imread('cv2.png', 0)
n, m = img.shape
n2,m2=n//2,m//2
points = []
for i in range(len(img)):for j in range(len(img[0])):if img[i][j]:points.append([i, j])
angle = 3.14/6
mat =  np.array([math.cos(angle), math.sin(angle), 0,  # 旋转变换-math.sin(angle), math.cos(angle), 0,0, 0, 1]).reshape(3, 3)img2 = np.zeros([n, m])
for v, w in points:x, y, z = np.dot([v-n2, w-m2, 1], mat)try:  # 避免新坐标越界img2[int(x+n2)][int(y+m2)] = 254except:pass
img2=img2.astype(np.uint8)
plt_show(img,img2)

图像配准
img：原图，坐标$(x,y)$
img2：img进行水平垂直变换，坐标$(v,w)$
img3：img2采用双线性模型，进行变化，尝试得到原图。即$$\begin{array}{c}x=c_{1}v+c_{2}w+c_{3}vw+c_4\\ y=c_{5}v+c_{6}w+c_{7}vw+c_8\end{array}$$img4：对比img2和img3的区别。

img = cv2.imread('am.png', 0)
print(img.shape)  
n,m=img.shape
det1=0.2
det2=0.05
img2=np.zeros([int(n+m*det1),int(m+n*det2)])
print(img2.shape)mat=np.array([1, det2, 0, det1, 1, 0, 0, 0, 1]).reshape(3, 3)
for x in range(n):for y in range(m):v,w,z=np.dot([x,y,1],mat)img2[int(v)][int(w)]=img[x][y]
img2=img2.astype(np.uint8)img3=np.zeros([n,m])
c = [0,1/(1-det1*det2),-det1/(1-det1*det2),0,0,-det2/(1-det1*det2),1/(1-det1*det2),0,0]
for v in range(len(img2)):for w in range(len(img2[v])):try:x,y=c[1]*v+c[2]*w+c[3]*v*w+c[4],c[5]*v+c[6]*w+c[7]*v*w+c[8]img3[int(x)][int(y)]=img2[v][w]except:pass
img3=img3.astype(np.uint8)
img4=img-img3# x,y=c[1]*v+c[2]*w+c[3]*v*w+c[4],c[5]*v+c[6]*w+c[7]*v*w+c[8]
# print(print(str([v,w])+'->'+str([int(x),int(y)])))plt_show(img,img2,img3,img4)

(440, 340)
(508, 362)

2.6.6向量与矩阵操作

一个像素有三个分量（RGB），组成列向量形式$z=[z_1,z_2,z_3{]}^T$。
z与a的欧式距离$D(z,a)={\left[(z-a{)}^{\text{T}}(\text{z}-a)\right]}^{\frac{1}{2}}={\left[(z_1-a_1{)}^2+(z_2-a_2{)}^2+\cdots +(z_n-a_n{)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}$

2.6.7图像变换

表示为$T(u,v)$的二维线性变换的通用形式为$$T(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)r(x,y,u,v)$$
其中$f(x,y)$是输入图像，$r(x,y,u,v)$是正变换核，$T(u,v)$称为$f(x,y)$的正变换。给定$T(u,v)$，可以反变换还原$f(x,y)$：$$f(x,y)=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}T(u,v)s(x,y,u,v)$$

$s(x,y,u,v)$称之为反变换核。

线性变换域中操作的一般方法：$$f(x,y)\to 变换\stackrel{T(u,v)}{⟶}运算R\stackrel{R[T(u,v)]}{⟶}反变换\to g(x,y)$$

例2.11变换域图像处理
图2.40 显示了上诉式子的一个例子。在这种情况下，所用的变换是傅里叶变换，在本节稍后我们将简单提一下它，第4章将对其进行详细介绍。图2.40(a)是一幅被正弦干扰污染了的图像，图2.40(b)是该图像傅里叶变换的幅度，它是图2.39中第一阶段的输出。空间域中的正弦干扰在变换域以较亮的脉冲方式出现。在这种情况下，脉冲是图2.40(b)中可见的圆形模式。图2.40©显示了一个模板图像(称为滤波器)，白和黑分别代表1和0。对于该例子,图2.39第二个方框内的操作是变换的结果与模板相乘，以可靠地消除干扰脉冲。图2.40(d)显示了最终结果，该结果是通过计算修改后的变换的反变换得到的。事实上，您恰好可以看到基准标志(淡淡的十字)，它用于图像对准。

如果 $$r(x,y,u,v)=r_1(x,u)r_2(y,v)$$ 则正向变换核可分，如果 $r_1(x,y)=r_2(x,y)$ ，则称变换核是对称的，从而有$$r(x,y,u,v)=r_1(x,u)r_1(y,v)$$

例2.11中的二维傅里叶变换的正反变换核($j=\sqrt{-1}$)：$$r(x,y,u,v)=e^{-j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$ $$s(x,y,u,v)=\frac{e^{j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}}{MN}$$

可得出离散傅里叶变换对$$T(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)r(x,y,u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$ $$f(x,y)=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}T(u,v)s(x,y,u,v)=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}T(u,v)\frac{e^{j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}}{MN}$$

2.6.8概率方法

令 $z_i(i=0,1,\dots ,L-1)$ 表示一幅M*N大小数字图像中所有可能的灰度值，则在给定图像中灰度级 $z_k$出现的概率$p(z_k)$为 $$p(z_k)=\frac{n_k}{MN}$$其中，$n_k$是灰度$z_k$在图像中出现的次数，MN是图像总数。显然： $$\sum _{k=0}^{L-1}p(z_k)=1$$ 。一旦知道 $p(z_k)$ ，就可以得出许多图像特性。例如，平均灰度为：$$m=\sum _{k=0}^{L-1}{z}_{k}p(z_k)$$方差为$${\sigma }^2=\sum _{k=0}^{L-1}(z_k-m{)}^{2}p(z_k)$$方差是$z$值关于均值的展开度的度量，因此它是图像对比度的有用度量。通常，随机变量$z$关于均值的第$n$阶矩定义为$${\mu }_n(z)=\sum _{k=0}^{L-1}(z_k-m{)}^{n}p(z_k)$$可知${\mu }_0(z)=1,{\mu }_1(z)=0且{\mu }_2(z)={\sigma }^2$，均值和方差对图像的视觉特性有明显的直接关系，高阶矩更敏感。