423，动态规划和递归解最小路径和

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给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:

[

[1,3,1],

[1,5,1],

[4,2,1]

]

输出: 7

解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

动态规划求解

这题求的是从左上角到右下角，路径上的数字和最小，并且每次只能向下或向右移动。所以上面很容易想到动态规划求解。我们可以使用一个二维数组dp，dp[i][j]表示的是从左上角到坐标(i，j)的最小路径和。那么走到坐标(i，j)的位置只有这两种可能，要么从上面(i-1，j)走下来，要么从左边（i，j-1）走过来，我们要选择路径和最小的再加上当前坐标的值就是到坐标（i，j）的最小路径。

所以递推公式就是

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])+grid[i][j];

有了递推公式再来看一下边界条件，当在第一行的时候，因为不能从上面走下来，所以当前值就是前面的累加。同理第一列也一样，因为他不能从左边走过来，所以当前值只能是上面的累加。

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比如上面图中，如果我们走到中间这一步的话，我们可以从上面1→3→5走过来，也可以从左边1→1→5，我们取最小的即可。我们来看下代码

public int minPathSum(int[][] grid) {int m = grid.length, n = grid[0].length;int[][] dp = new int[m][n];dp[0][0] = grid[0][0];//第一列只能从上面走下来for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];}//第一行只能从左边走过来for (int i = 1; i < n; i++) {dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {//递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];}}return dp[m - 1][n - 1];
}

我们看到二维数组dp和二维数组grid的长和宽都是一样的，没必要再申请一个dp数组，完全可以使用grid，来看下代码

public int minPathSum(int[][] grid) {int m = grid.length, n = grid[0].length;for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (i == 0 && j == 0)continue;if (i == 0) {//第一行只能从左边走过来grid[i][j] += grid[i][j - 1];} else if (j == 0) {//第一列只能从上面走下来grid[i][j] += grid[i - 1][j];} else {//递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值grid[i][j] += Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);}}}return grid[m - 1][n - 1];
}

递归求解

我们还可以把上面的动态规划改为递归，定义一个函数

minPathSum(int[][] grid, int i, int j)表示从左上角到坐标(i，j)的最短路径和，那么同样道理，要走到坐标(i，j)只能从上面下来或者左边过来。所以代码轮廓我们大致能写出来

public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {if (边界条件的判断) {return}//一些逻辑处理//取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));
}

下面再来看下完整代码

public int minPathSum(int[][] grid) {return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1);
}public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {if (i == 0 && j == 0)return grid[i][j];//第一行只能从左边走过来if (i == 0)return grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1);//第一列只能从上面走下来if (j == 0)return grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j);//取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));
}

因为这里面的递归会导致大量的重复计算，所以还是老方法，就是把计算过的值存储到一个map中，下次计算的时候先看map中是否有，如果有就直接从map中取，如果没有再计算，计算之后再把结果放到map中，来看下代码

public int minPathSum(int[][] grid) {return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1, new HashMap<String, Integer>());
}public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j, Map<String, Integer> map) {if (i == 0 && j == 0)return grid[i][j];String key = i + "*" + j;if (map.containsKey(key))return map.get(key);int res = 0;//第一行只能从左边走过来if (i == 0)res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1, map);//第一列只能从上面走下来else if (j == 0)res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j, map);//取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值elseres = grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j, map), minPathSum(grid, i, j - 1, map));map.put(key, res);return res;
}