一、问题描述

 根据AUV的运动学方程和路径跟踪误差模型，采用视线角原理（LOS），基于给定的期望路径$S$和纵向速度$u_d$，采用Lyapunov方法产生的控制率，证明对于任意的初始位置$Q$，AUV的路径跟踪误差$y_1,s_1,{\psi }_e$渐近趋近于零。

二、水平面运动学方程

$$\{\begin{array}{llc}\dot{x}=ucos\psi -vsin\psi & & \\ \dot{y}=usin\psi +vcos\psi & & \\ \dot{\psi }=r& & \end{array}$$

三、SF坐标系下的跟踪误差方程

$$\{\begin{array}{llc}{\dot{s}}_1=-\dot{s}(1-c_c{y}_1)+v_{t}cos{\psi }_e& & \\ {\dot{y}}_1=-c_c\dot{s}{s}_1+v_{t}sin{\psi }_e& & \\ \dot{{\psi }_e}=r+\dot{\beta }-c_c\dot{s}& & \end{array}$$

四、Barbalat引理和类Lyapunov引理

Barbalat引理
 对于可微函数$f(t)$,若满足以下两个条件：
（1）$f(t)$的极限有限，$\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=C$（$C$为常数）;
（2）$\dot{f}(t)$一致连续，等价为$f(t)$的二阶导有界；
 理解：根据条件一，可知在$t$趋近于无穷时，函数趋近于一个常数，理想情况下，此时的导数应该为零，即函数的变化率为零。但是存在特殊情况，即函数以不光滑的形式趋近于极限上界，此时的导数是不连续的（存在不可导的点（折点）），因此外加了第二个限制条件，保证函数的导数一致连续，保证函数的光滑性（导数的存在性），此时便剔除了特殊情况，则有：

                 $t\to \infty$,$\dot{f}(t)\to 0$
Barbalat 引理是一种类似于李雅普诺夫直接方法的分析手段，它像时不变系统分析中的拉萨尔不变性原理，使得我们在李雅普诺夫函数的导数为半负定的情况之下，仍然能够获得系统的渐近稳定性。而且相比于传统的李雅普诺夫直接方法，Barbalat 引理释放了对李雅普诺夫函数V 正定性的要求，仅要求其存在下界条件，但要求 $\dot{V}(x,t)$一致连续，这可以通过验证$\ddot{V}(x,t)$的有界性来保证。
类Lyapunov引理
能量函数$V(t)$满足下列条件：
（1）$V(t)$有上界；
（2）$\dot{V}(t)$半负定（小于等于零）；
（3）$\dot{V}(t)$对时间是一致连续的（$V(t)$二阶导有界）；
则有：$t\to \infty$,$\dot{V}(t)\to 0$。

五、控制率生成和证明

视线角原理可以参考：
https://blog.csdn.net/dooglocool/article/details/128699067?spm=1001.2014.3001.5501

5.1 第一步

 选择Lyapunov函数为：$$V_1=\frac{1}{2}({\psi }_e-\delta {)}^2$$求导：$${\dot{V}}_1=({\psi }_e-\delta )({\dot{\psi }}_e-\dot{\delta })=({\psi }_e-\delta )(r+\dot{\beta }-c_c\dot{s})$$设计的控制率为：$$r=\dot{\delta }-\dot{\beta }-k_1({\psi }_e-\delta )+c_c\dot{s}$$则：$${\dot{V}}_1=-k_1({\psi }_e-\delta {)}^2\le 0$$$V_1$为正定的单调非增函数，存在上界$\underset{t\to \infty }{\lim }{V}_1=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}({\psi }_e-\delta {)}^2=l_{max}$，另外$V_1$的二阶微分$\ddot{V}=2k_1^2({\psi }_e-\delta {)}^2\ge 0$，其上界为${\ddot{V}}_1=2k_1^2({\psi }_e-\delta {)}^2=4k_1^2{l}_{max}$，即${\ddot{V}}_1$有界，则${\dot{V}}_1$的一致连续，运用Barbalat引理，得到：$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\dot{V}}_1=0\Rightarrow \underset{t\to \infty }{\lim }{\psi }_e=\underset{t\to \infty }{\lim }\delta$$因此，AUV在导航角$\delta$的指引下，其运动轨迹将渐近收敛于不变集： { Ω 1 ∣ ( x , y ) ∈ R 2 , ψ e = δ } \{\Omega_1|(x,y)\in R^2,\psi_e=\delta\} {Ω1​∣(x,y)∈R2,ψe​=δ}因此，变量$y_1,s_1,{\psi }_e,\delta$有界。

5.2 第二步

 考虑限制在${\Omega }_1$上的反馈控制系统的运动，选定新的Lyapunov函数为：$$V_{{\Omega }_1}=\frac{1}{2}(s_1^2+y_1^2)$$则：$${\dot{V}}_{{\Omega }_1}=-s_1\dot{s}+s_1{v}_{t}cos{\psi }_e+y_1{v}_{t}sin{\psi }_e$$其中$y_1{v}_{t}sin{\psi }_e\le 0$,设计：$$\dot{s}=v_{t}cos{\psi }_e+k_2{s}_1$$其中$k_2$为正的控制增益，使：$${\dot{V}}_{{\Omega }_1}=-k_2{s}_1^2-\frac{k_0{v}_t{y}_1^2}{y_1^2+ϵ}\le 0$$因此，$(s_1,y_1)=(0,0)$为系统的平衡点，系统运动轨迹将渐近收敛于不变集 { Ω 2 ∣ ( s 1 , y 1 ) = ( 0 , 0 ) , ψ e = δ } \{\Omega_2|(s_1,y_1)=(0,0),\psi_e=\delta\} {Ω2​∣(s1​,y1​)=(0,0),ψe​=δ}同时$\delta =arcsin(\frac{-k_0{y}_1}{y_1^2+ϵ})$，而$\underset{t\to \infty }{\lim }{y}_1=0$，有$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\psi }_e=\underset{t\to \infty }{\lim }\delta =\underset{t\to \infty }{\lim }arcsin(\frac{-k_0{y}_1}{y_1^2+ϵ})=0$$即系统的运动轨迹渐近收敛于不变流型 { Ω 3 ∣ ( s 1 , y 1 , ψ e ) = ( 0 , 0 , 0 ) } \{\Omega_3|(s_1,y_1,\psi_e)=(0,0,0)\} {Ω3​∣(s1​,y1​,ψe​)=(0,0,0)}

5.3 第三步

综合前两步的结论，应用$LaSalle$ 不变原理。证明的第一步表明在导航控制律作用下，始于集合$\Omega =R^3$的每一个解都渐近收敛不变集 { Ω 1 ∣ ( x , y ) ∈ R 2 , ψ e = δ } \{\Omega_1|(x,y)\in R^2,\psi_e=\delta\} {Ω1​∣(x,y)∈R2,ψe​=δ};证 明的第二 步表明在跟踪误差控制律作用下，在不变集 ${\Omega }_1$ 内 ，系统轨迹将渐近收敛于不变集 { Ω 2 ∣ ( s 1 , y 1 ) = ( 0 , 0 ) , ψ e = δ } \{\Omega_2|(s_1,y_1)=(0,0),\psi_e=\delta\} {Ω2​∣(s1​,y1​)=(0,0),ψe​=δ}，更 进 一 步，能够证明${\Omega }_2$的最大不变集实际等价于 { Ω 3 ∣ ( s 1 , y 1 , ψ e ) = ( 0 , 0 , 0 ) } \{\Omega_3|(s_1,y_1,\psi_e)=(0,0,0)\} {Ω3​∣(s1​,y1​,ψe​)=(0,0,0)}。 由$LaSalle$不变集理论,系统运动轨迹将最终渐近收敛于其最大不变集 { Ω 3 ∣ ( s 1 , y 1 , ψ e ) = ( 0 , 0 , 0 ) } \{\Omega_3|(s_1,y_1,\psi_e)=(0,0,0)\} {Ω3​∣(s1​,y1​,ψe​)=(0,0,0)}，证明完毕 。