推导：计算 $\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x})$

1. 定义函数：我们定义函数 $f(\mathbf{x})={\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{a}$ 是一个列向量，维度为 $n\times 1$，$\mathbf{x}$ 也是一个列向量，维度为 $n\times 1$。
   
   

2. 展开表达式：将 ${\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x}$ 展开为矩阵乘法的形式：
   ${\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n$
   
   

3. 求偏导数：计算 $f(\mathbf{x})$ 对 $\mathbf{x}$ 的偏导数。
   $\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x})=\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)$
   
   

4. 分别求导：根据矢量微积分的规则，我们可以逐个求解 $a_i{x}_i$ 的偏导数，其中 $i$ 表示向量的索引。

   $\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)\\ \frac{\partial }{\partial x_2}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)\\ ⋮\\ \frac{\partial }{\partial x_n}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)\end{array}\right]$
   
   

5. 求导结果：由于我们对 $x_i$ 求导数时，除了与 $x_i$ 相关的项以外的其他项都是常数，所以求导结果为：
   $\frac{\partial }{\partial x_i}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)=a_i$
   
   

6. 综合结果：得到最终结果：
   $\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=\mathbf{a}$
   
   

因此，$\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x})$ 的结果是列向量 $\mathbf{a}$。


说明：
这里偏导数的求导结果是一个列向量，它的维度和分母（列向量x）一致。