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思路

动态规划
题目是给定一个有序序列1,2,3…n, 我们需要求出一共有多少种构建二叉搜索树的方法。可以这样考虑：对每一个数字i，我们遍历它，以i为根节点，1…(i-1)为左子树，i+1…n为右子树，接着我们可以以同样的方式对左右子树递归构建二叉树。
上述遍历中由于根节点不同，所以每次构建的二叉树都不相同。由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

假设两个函数：
G(n):长度为n的序列构成的不同二叉搜索树的个数。
F(i,n):以i为根节点，序列长度为n构成的二叉树的个数。
可见，G(n)G(n)G(n) 是我们求解需要的函数。

稍后我们将看到，G(n)G(n)G(n) 可以从 F(i,n)F(i, n)F(i,n) 得到，而 F(i,n)F(i, n)F(i,n) 又会递归地依赖于 G(n)G(n)G(n)。

首先，根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数 G(n)G(n)G(n)，是对遍历所有 iii (1≤i≤n)(1 \le i \le n)(1≤i≤n) 的 F(i,n)F(i, n)F(i,n) 之和。换言之：

G(n)=∑i=1nF(i,n)(1) G(n) = \sum_{i=1}^{n} F(i, n)\qquad \qquad (1)
G(n)=
i=1
∑
n
​
F(i,n)(1)
对于边界情况，当序列长度为 111（只有根）或为 000（空树）时，只有一种情况，即：

G(0)=1,G(1)=1 G(0) = 1, \qquad G(1) = 1
G(0)=1,G(1)=1
给定序列 1⋯n1 \cdots n1⋯n，我们选择数字 iii 作为根，则根为 iii 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

举例而言，创建以 333 为根、长度为 777 的不同二叉搜索树，整个序列是 [1,2,3,4,5,6,7][1, 2, 3, 4, 5, 6, 7][1,2,3,4,5,6,7]，我们需要从左子序列 [1,2][1, 2][1,2] 构建左子树，从右子序列 [4,5,6,7][4, 5, 6, 7][4,5,6,7] 构建右子树，然后将它们组合（即笛卡尔积）。

对于这个例子，不同二叉搜索树的个数为 F(3,7)F(3, 7)F(3,7)。我们将 [1,2][1,2][1,2] 构建不同左子树的数量表示为 G(2)G(2)G(2), 从 [4,5,6,7][4, 5, 6, 7][4,5,6,7] 构建不同右子树的数量表示为 G(4)G(4)G(4)，注意到 G(n)G(n)G(n) 和序列的内容无关，只和序列的长度有关。于是，F(3,7)=G(2)⋅G(4)F(3,7) = G(2) \cdot G(4)F(3,7)=G(2)⋅G(4)。 因此，我们可以得到以下公式：

F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)(2) F(i, n) = G(i-1) \cdot G(n-i) \qquad \qquad (2)
F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)(2)
将公式 (1)(1)(1)，(2)(2)(2) 结合，可以得到 G(n)G(n)G(n) 的递归表达式：

G(n)=∑i=1nG(i−1)⋅G(n−i)(3) G(n) = \sum_{i=1}^{n}G(i-1) \cdot G(n-i) \qquad \qquad (3)
G(n)=
i=1
∑
n
​
G(i−1)⋅G(n−i)(3)
至此，我们从小到大计算 GGG 函数即可，因为 G(n)G(n)G(n) 的值依赖于 G(0)⋯G(n−1)G(0) \cdots G(n-1)G(0)⋯G(n−1)。

代码：

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> G(n + 1, 0);G[0] = 1;G[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= i; ++j) {G[i] += G[j - 1] * G[i - j];}}return G[n];}
};