Eigenface就是将人脸图像进行编码，映射到低维子空间上，在低维空间计算两幅人脸图像的距离，以此来进行人脸识别。映射到低维子空间的方法采用主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

１．将人脸图像（均为灰度图）拉成一个列向量存储在矩阵$A＝｛A_1,A_2,\cdots,A_n｝$中，$A\in R^{d\times n}$，其中，$d$是每张人脸图片的像素数目，$n$是图像数目。为了保证后面的计算正常进行，我们假定图像的像素值已经转换成了double类型。

f = imread('face.jpg'); % ｆ是uint8类型
f = im2double(f);  % f转换成double类型
f = reshape(f, [d, 1]);　% f拉成列向量

在我们的例子中包含２５张人脸图像，如下图所示

２．计算平均脸$\overline {A}=\sum\limits_{i=1}^{n}{A_i}$，平均脸也可以看做是一幅人脸图像

３．将原始图像每个维度中心化，$\Phi_i = A_i - \overline {A}$, $\Phi＝｛\Phi_1,\Phi_2,\cdots,\Phi_n｝$， $\Phi\in R^{d\times n}$

4.对$\Phi$进行主成分分析，$\Phi \Phi^T = \lambda_i\omega_i$，即求解$\Phi \Phi^T$的特征值和特征向量，将特征向量进行施密特正交化，对$\lambda_i$进行降序排列，选出前$s$个特征值对应的特征向量 $\Omega(\Omega \in R^{d\times n})$作为新空间的基，将原始数据投影到新空间上
$\Phi_i^{new} = \Omega^T\Phi_i$
在新空间中采用距离度量两幅图像的相似性

注：$\Phi \Phi^T = \lambda_i \omega_i，\lambda_i$是原始数据在第$k$个方向上投影的方差值，为最大程度保留原始数据的信息，可以选择一个阈值$\theta$，使得$s$满足下面的式子：
$\frac{\sum\limits_{i=1}^{s-1}{\lambda_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda_i}}<\theta$ and $\frac{\sum\limits_{i=1}^{s}{\lambda_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda_i}}\geq\theta$

5.在我们的例子中，人脸图像数目$n$远小于图像的像素数目$d$,如果直接计算$\Phi \Phi^T$的特征值和特征向量，计算复杂度较高，对于１00$\times$100 大小的图片，$\Phi \Phi^T$的大小为１0000 $\times$10000，带来的存储和计算复杂度都是难以承受的，为此，我们可以先计算$\Phi^T\Phi$的特征值和特征向量，即
$\Phi^T\Phi \mu_i = \lambda_i \mu_i$

$\Phi\Phi^T(\Phi \mu_i) = \lambda_i (\Phi\mu_i)$

令$\omega_i=\Phi\mu_i$，则有$\Phi \Phi^T = \lambda_i \omega_i$

注意：$\Phi^T\Phi \in R^{n\times n}$，而$\Phi\Phi^T\in R^{d\times d}$，通过这样计算出来的特征向量只有$n$个，那么对于剩余的特征向量怎么办呢？事实上，$n$个$d$维向量张成的空间维度最多为$n$（$n<d$），我们可以直接采用这$n$个$d$维向量作为它的基，这$n$个$d$维向量可以用这组基完全表示，那么，采用另外一组基表示这个空间时，它最多需要$n$个基，换句话说，这$n$个$d$维向量在剩下的特征向量上的投影都是０，即$\Phi\Phi^T$最多有n个不为０的特征值，原始数据在剩余的特征向量上的投影都是０，所以并不需要剩余的特征向量

warning:$\Phi\Phi^T$类似于$\Phi$的协方差矩阵，也可以对协方差矩阵求解特征值和特征向量，采用５的方法求解时，千万不要先求解$\Phi^T$的协方差矩阵，再求解特征值和特征向量，个中差异请自行体会

下面撸代码，运行前需要在同一个文件夹建立一个train文件夹，在里面放入人脸图片，直接运行会提示你选择要识别的图片

clear all
s = dir('train');
s(1:2) = [];
d = 128 * 128;    % 每张图片像素总数
n = length(s);    % 训练集内照片总数
img = zeros(d, n);
for k = 1:npath = strcat('train/', s(k).name);f = imread(path);if(numel(size(f)) == 3)f = rgb2gray(f); endf = imresize(f, [128, 128]);f = reshape(f, [d, 1]);f = im2double(f);img(:, k) = f;
endmean_img = mean(img, 2);
for k = 1:nimg(:, k) = img(:, k) - mean_img; 
end
[w, a, explained] = pcacov(img' * img);
w = img * w;
face_num = 0;   % face_num用于存储需要特征脸的数目,协方差>=95% 
per = 0;
while(per<95)face_num = face_num + 1;per = per + explained(face_num);
endw = w(:, 1:face_num);
for k = 1:face_numw(:, k) = w(:, k)/norm(w(:, k)); 
endeigenface = zeros(face_num, n);   % eigenface用于储存在人脸图像在特征空间的表达
for k = 1:neigenface(:, k) = w' * img(:, k);
end[file, path] = uigetfile({'*.*', 'All Files'}, '选择您要识别的图片：');
path = strcat(path,file);
f = imread(path);
subplot(1, 2, 1);
imshow(f);
title('要识别的图片');
if(numel(size(f)) == 3)f = rgb2gray(f); 
end
f = imresize(f, [128, 128]);
f = reshape(f, [d, 1]);
f = im2double(f);
f = f - mean_img;
f = w' * f;  % 将要识别的图片投影到特征空间上% 在数据库中找寻与识别图片最相近的图片
distance = Inf;
best_k = 0;
for k = 1:nd = norm(f - eigenface(:, k));if(distance > d)best_k = k;distance = d;end
endpath = strcat('train/', s(best_k).name);
subplot(1, 2, 2);
imshow(path);
title('数据库中最接近的图片');