BOLG

群的定义

设G为一个元素的集合，称G内的元素为元，*为针对G这个集合的元素的运算，当$（G，*）$满足以下要求的时候，我们称$（G，*）$为群

1. 封闭性：G内的任何两个元的*运算的结果仍在G内
2. 交换律：$a*（b*c）=（a*b）*c$
3. 单位元：任何$a*e=a$
4. 逆元：$a*a^{-1}=e$

比如：$G=\{0,1,2...n-1\},a*b=(a+b)\%n$
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那么封闭性和交换律显然符合要求，而单位元为0，a(a!=0)的逆元为n-a，0的逆元为0，那么我们就称$（G，*）$为群

有限群的阶 |G|：G的元素的数量

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置换定义

有点像游戏里面各种属性的克制

置换$\pi$表示G中每个元素在一次变换后的下一个状态

置换的运算符号记作$“·”$

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表示方法一：矩阵

$\pi=\begin{Bmatrix}x_1&x_2&...&x_n\\y_1&y_2&...&y_n\end{Bmatrix}$

表示$x_1$的下一个状态为$y_1$，$x_2$的下一个状态为$y_2$……

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表示方法二：循环节

假设有置换 $\pi=\begin{Bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{Bmatrix}$，那么就可以用（1,2,3）来表示

而(1,2,3)(3)表示1->2，2->3，3->3

$c(\pi)$表示置换$\pi$的循环节的个数

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置换群的定义

置换群不是某种带有置换属性的群，而是群的元素为置换

设G为有限集X上的置换的集合，若G满足群的定义，则$(G，·)$被称为一个置换群。

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置换群下的一些定义

一：等价

如果元素a在某个置换$\pi$的作用下变成了b，则a与b等价，记作a~b

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二：等价类&轨迹

G的一个元素在置换的作用下会变成下一个元素，下一个元素也有下一个元素，一直变换下去就会形成一条路径，我们形象的称之为G的轨迹，轨迹上的元素称为一个等价类。显然两条轨迹不会相交。

a的等价类表示所有a可以变换到（可能不止一步）的元素的集合，记作 $E_a$

等价类的数量记作$“L”$，而大多数题目都需要求这个L。

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三：不动置换类（置换的类）

对于某个元素a，所有满足a->a的置换的集合，称为a的不动置换类，记作 $Z_a$

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四：不动点集（元素的类）

对于某个置换$\pi$，所有满足在这个置换下不变的元素的集合，称为$\pi$的不动点集，记作 $C(\pi)$

若$\pi=(123)(3)(45)(6)(7)$,$X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$,则$C(π)={3,6,7}$共3个元素。