置换矩阵
我们以 3 × 3 3\times3 3×3的单位矩阵 I I I来举例： I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] I=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad 0\quad0\\ 0\quad 1\quad0\\ 0\quad0\quad1 \end{array} } \right] I=⎣⎡100010001⎦⎤
其满足置换一次即能得到原矩阵的变形有： [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] \left[ {\begin{array}{cc} 0\quad 1\quad0\\ 1\quad 0\quad0\\ 0\quad0\quad1 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0\quad 0\quad1\\ 0\quad 1\quad0\\ 1\quad0\quad0 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad 0\quad0\\ 0\quad 0\quad1\\ 0\quad1\quad0 \end{array} } \right] ⎣⎡010100001⎦⎤⎣⎡001010100⎦⎤⎣⎡100001010⎦⎤
其满足置换两次能得到原矩阵的变形有： [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] [ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ] \left[ {\begin{array}{cc} 0\quad 1\quad0\\ 0\quad 0\quad1\\ 1\quad0\quad0 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0\quad 0\quad1\\ 1\quad 0\quad0\\ 0\quad1\quad0 \end{array} } \right] ⎣⎡010001100⎦⎤⎣⎡001100010⎦⎤
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我们可以看到其共有6种（ A 3 3 A_3^3 A33）形式（通过行交换可以获得的变形）
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两两相乘这六个矩阵得到的结果仍然在这六个矩阵之中
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并且他们还有个重要的性质，即其逆等于其转置，并且结果在这六个之中： P P T = I PP^T=I PPT=I
之前的 A = L U A=LU A=LU分解，我们假设矩阵主元位置都不为0，不需要进行行互换，但现实往往没有那么理想，因此 A = L U A=LU A=LU就变成了 P A = L U PA=LU PA=LU，其中 P P P为置换矩阵（行进行重新排列的单位矩阵）
转置矩阵
所谓矩阵的转置，即矩阵的行和列互换，下面举例说明： A = [ 1 3 2 3 4 1 ] A T = [ 1 2 4 3 3 1 ] A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad 3\\ 2\quad 3\\ 4\quad1 \end{array} } \right]A^T=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad 2\quad4\\ 3\quad 3\quad1\\ \end{array} } \right] A=⎣⎡132341⎦⎤AT=[124331]
- 即 ( A T ) i j = A j i (A^T)_{ij}=A_{ji} (AT)ij=Aji
- 我们称 A T = A A^T=A AT=A的矩阵为对称矩阵
- 所有的 A T A A^TA ATA的结果都是对称阵 （ R T R ） T = R T R （R^TR）^T=R^TR （RTR）T=RTR
