1.定义

给定定两个排列$P=p_1,p_2,...,p_n$，$Q=q_1,q_2,...,q_n$。
排列$Q$关于排列$P$进行置换运算得到的新排列为
$Ans=Q\ast P=P_{Q_1},P_{Q_2},...,P_{Q_n}$。
这就是排列的置换运算。
即：
某个排列关于排列$P$做置换运算，就是将这个排列中的值为$i$的元素替换为$P_i$。

2.置换的表示法

（1）第一种表示法

设排列$P=3,1,2,8,6,4,7,5$
置换群$P$可以表示为：
$1,2,3,4,5,6,7,8$
$3,1,2,8,6,4,7,5$
该表示的含义为将元素$i$映射为$P_i$。

（2）第二种表示法

置换群$P$：
$1,2,3,4,5,6,7,8$
$3,1,2,8,6,4,7,5$
还可以表示为：$(1,3,2)(4,8,5,6)$(其中$7$关于自身映射，可以省略其表示)。
该表示的含义为每个圆括号里面的元素都构成一个环。
例1：
$Q=(1,2,3,4)$，$P=(1,3,2)(4)$
$Q\ast P=3,1,2,4$
$Q\ast P\ast P=Q\ast P^2=2,3,1,4$
$Q\ast P^3=1,2,3,4$
例2：
$Q=(1,2,3,4)$，$P=(1,4,2,3)$
$Q\ast P^0=1,2,3,4$
$Q\ast P^1=4,3,1,2$
$Q\ast P^2=2,1,4,3$
$Q\ast P^3=3,4,2,1$
$Q\ast P^4=1,2,3,4$
观察$P$和上述每一列的关系，显然单个$()$的循环节为$()$内数字的个数。
多个$()$的循环节为多个$()$的循环节的$LCM$（最小公倍数）。

（3）第三种表示法

置换群$P=(1,3,2)(4,8,5,6)$还可以表示为$(1,3)(1,2)(4,8)(4,5)(4,6)$。
至于这种表示法有什么优美的含义？博主还没研究出来。

3.置换的乘法和逆运算

$n$元单位置换群$I_n=1,2,...,n$。
对于任意置换群$P$，满足：
$I\ast P=P$
$P\ast I=P$

置换的乘法即为上述例1和例2。
例3：
$Q=(1,2,3,4)$，$P=(1,4,2,3)$
$Q\ast P^{-0}=1,2,3,4$
$Q\ast P^{-1}=3,4,2,1$
$Q\ast P^{-2}=2,1,4,3$
$Q\ast P^{-3}=4,3,1,3$
$Q\ast P^{-4}=1,2,3,4$
（注:$-0$仅为了对齐）
观察例2和例3，可以简单的得出一个小结论：
在第二种表示法中，乘法运算即将某个元素替换为其右边的元素。
逆运算即将其替换为左边的元素。

4.置换的幂运算

置换的乘法满足结合律，不满足交换律。
$Q\ast P\ast S=(Q\ast P)\ast S=Q\ast (P\ast S)$。
结合律的优势：如果在计算机中要求$P^n$，且$n$比较大，但是对$P$的运算满足结合律，就可以利用快速幂在$log(n)$运算内求出$P^n$。
$P^{k_1}\ast P^{k_2}=P^{k_1+k_2}$
$(P^{k_1}{)}^{k_2}=P^{k_1\ast k_2}$

参考文献：https://wenku.baidu.com/view/72de788aaeaad1f346933f74?ivk_sa=1023194j