樱花

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不要看原题面，不然你会被情侣虐成狗。看我的简述就行。

题面

人话 ：
求方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$ 的正整数解，答案对 $10^9+7$ 取模。其中 $n\in [1,10^6]$ 。

做法

注：以下所有 $x,y,n\in Z^{+}$
我们先来对式子处理一下。可变为：
$$n!(x+y)=xy$$
但我们又知道 求得 $x,y$ 其中之一就可以求出这一组正整数解，所以我们可以用函数的形式来表示出来：
$$y(x-n!)=n!x$$
还可以变 ：
$$y=\frac{n!x}{x-n!}$$
但是这样看不出来什么，我们可以再化简，除去分子上的 $x$ ，可得：
$$y=n!+\frac{(n!{)}^2}{x-n!}$$
如果要有正整数解，那么需要满足：
$$\{\begin{array}{l}x-n!>0\\ x-n!\mid (n!{)}^2\end{array}$$
如果我们求得满足上面式子 $x-n!$ 的个数，那么我们就求得了 $x$ 的个数，我们也就求得了 $(x,y)$ 正整数解的个数。
我们又知道 $x-n!\mid (n!{)}^2$ 所以说我们就是要求 $(n!{)}^2$ 的约数个数，直接套公式即可：
设 $c$ 为 $(n!{)}^2$ 的约数个数，满足：
$(n!{)}^2=\sum _{i=1}^k{p_i}^{c_i}$ 即可。

代码

#include<cstdio>
typedef long long LL;
#define NUMBER1 1000000
#define P(A) A=-~A
#define fione_i(begin,end) for(register int i=begin;i<=end;P(i))
const LL mod=1e9+7;
int prime[NUMBER1+5],n,cnt(0);
bool pd[NUMBER1+5];
inline void PRIME(){fione_i(2,n){if(!pd[i])prime[++cnt]=i;for(int j=1;prime[j]*i<=n;P(j)){pd[prime[j]*i]=true;if(!(i%prime[j]))break;}}
}
signed main(){LL p;scanf("%d",&n);PRIME();LL ans(1);fione_i(1,cnt){p=0;for(int j=n;j;j/=prime[i])p+=j/prime[i];ans=ans*((p<<1)+1)%mod;}printf("%lld",ans);return 0;
}