蒙特卡洛模拟估计欧式看涨期权的价值

蒙特卡洛模拟是金融学和数值计算科学中最重要的算法之一，它在期权的定价和风险的管理上有很重要的作用，蒙特卡洛方法很容易处理高维度问题，在这种问题上复杂度和计算需求通常以线性方式增长．蒙特卡洛方法的缺点是：本身的高计算需求

主要参考Black-Scholes-Merton(BSM)模型，在模型中到期的指数水平是一个随机变量，通过到期指数公式计算：
　　　　　　　　　　 　　　$S_T=S_{0}exp((r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)T+\sigma \sqrt{T}z)$

其中z是一个服从标准正态分布的随机变量．
蒙特卡洛算法的描述：
１．生成 I 个服从标准正态分布的随机数，$z_i$, i={1,2,3,I}, I为随机模拟的次数
２．通过上面的到期指数计算公式，计算出所有模拟结果的到期指数$S_T(i)$
３．计算到期期权的每一个模拟可能的内在价值$h_T(i)$
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　$h_T(i) = max(S_T(i) - K, 0) $

４．通过蒙特卡洛估算公式计算出期权现值

$C_0\approx e^{-rT}\frac{1}{T}{\sum }_i^I{h}_T(i)$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 对计算要用到的一些数据进行初始化
S_0 = 100.0       # 股票的初始的指数水平
K = 105.0         # 看涨的行权价格
T = 1.0           # 到期的年限
r = 0.05          # 固定无风险利率
sigma = 0.2       # 固定波动率（收益的标准差）

I = 1000      # 随机数的个数，模拟计算到期指数的次数
z = np.random.standard_normal(I)
# 股票到期指数水平
S_T = S_0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2)* T + sigma * np.sqrt(T) * z)
# 期权的内在价值
h_T = np.maximum(S_T - K, 0)
# 期权现值
C = np.exp(-r * T)* np.sum(h_T)/I

期权现值

# 期权现值
print 'value of the European call option %.6f'%C

value of the European call option 7.988801

def draw_pic(position,y,label,plt):plt.subplot(position)plt.plot(y, label=label)plt.grid(True)plt.legend(loc=0)plt.ylabel(label)

到期指数水平
到期期权内在价值

%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(12,7))
draw_pic(211, S_T, 'S_T', plt)
draw_pic(212, h_T, 'h_T', plt)

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