doi:10． 3969/j． issn． 1001 －358X． 2012． 04． 014 两类基于 MATLAB 的 Lyapunov 与 Riccati 线性矩阵不等式可行解的算法分析与验证 薛亚宏 ( 甘肃工业职业技术学院，甘肃 天水 741025) 摘要: Lyapunov 不等式与 Riccati 不等试是控制理论中广泛应用的两类线性矩阵不等式，其正定可行解问题的研究一直是控制理论中的核心问题，文中从矩阵不等式的基本描述出发对以上两种有直接联系且有重要应用意义的矩阵不等式作了理论上的可行性分析和算法上的研究． 重点着眼于不等式稳定性的判定及其转换算法、不等式正定可行解的通用算法等两种算法的建立，最后通过实变量运 算进行了计算精度上的验证。 关键词: Lyapunov 不等式; Riccati 不等式; 可行解; MATLAB: 算法验证 中图分类号: P209 文献标识码: B 文章编号:1001 －358X( 2012) 04 －0040 －03 1 线性矩阵不等式的一般描述及 Lyapunov 方程的转换算法 1． 1 线性矩阵不等式的一般描述线性矩阵不等式的一般描述为 F( x) = F0 + x1F1 + … + xmFm ＜0 式中: x =［x1，x2，…，xm］T 为多项式系数向量，又称为决策向量; Fi 为实对称矩阵或复 Hermit 矩阵; 整个矩阵不等式小于零表示 F( x) 为负定矩阵，该不等式的解 x 是凸集。 其解集为 F［αx1 + ( 1 － α) x2］= αF( x1) + ( 1 － α) F( x2) ＜0 式中: α ＞0，1 － α ＞0 该解又称为可行解。 这样的线性矩阵不等式可作为最优化问题的约束调节。 线性矩阵不等式问题通常可以分为三类: 可行解问题、线性目标函数最优化问题与广义特征值最优化问题，本文仅对线性矩阵不等式的正定可行解问题。 而所谓正定可行解问题( Positiveand feasible so lution problem) 就是最优化问题中的约束条件求解问题，即单纯求解不等式 F( x) ＜0 得出满足该不等式的一个解的问题。求解线性矩阵不等式可行解等价于求解 F( x) ＜ σ，其中 σ 是能够用数值方法找到的最小值。如果找到的 σ ＜ 0，则得出的解是原问题的可行解，否则会提示无法找 到可行解。 在正定可行解的的表达形式基础之上，假设有两个线性矩阵不等式 F( x1) ＜ 0 和 F( x2) ＜ 0，则可以构造出如下一个单一的线性矩阵不等式 F1( x) 0 0 F2( x[ ]) ＜0 这两个线性矩阵不等式可以写成一个单一的线性矩阵不等式 Fi( x) ＜0( i =1，2，…，…k) 。类似地，多个线性矩阵不等式也可以合并成单一的线性矩阵不等式 F( x) ＜0，其中 F( x) = F1( x) F2( x)  Fk( x            ) ＜0 如此，便初步建立了统一的线性矩阵不等式 F ( x) ＜0 的表达形式。 1． 2 不等式稳定性的判定及其转换算法 关于不等式稳定性的判定及其转换算法是求解正定可行解的重一要环节，为演示一般控制问题和线性矩阵不等式之间的关系，首先考虑稳定性判定的问题。对线性系统来说，若对给定的正定矩阵 Q， Lyapunov 方程: ATX + XA = － Q 存在正定解 X，则该系统是稳定的。上述问题很自然地可能表示成对下面的 Lyapunov 不等式的求解问题。 04 第 4 期 2012