Description

给定平面上n个点，设计一条路线，从1号点出发，走到n号点在走回来，除了最左边的点，其他每个点恰好经过一次，且是的路径总长最短。两点之间的路径长度为欧几里得距离（就是直线距离）。

Solution

处理从1号点走到n号点在走回来的情况很复杂，所以我们可以假设有2个人一起走，并且走的点不重复。
设$f[i][j]$表示第一个人走到i，第二个人走到j的最优答案。但是这样还是不知道自己走的对方是否走过。
所以设$f[i][j]$表示1..i都走过，第一个人走到i，第二个人走到j的最优答案。
那么可能是第一个人走到i+1或是第二个人走到i+1。
所以转移变成了$f[i][j]→f[i+1][j],f[i][j]→f[i][i+1]$。
但这样还是有弊端。
$N^2$的空间很大，必须开滚动数组。假设i和j相差很大，不可能完成所有的转移。
所以强制i>j。
所以$f[i][j]→f[i+1][i]和f[i+1][j]$。
为什么这样是对的？
在进行点i+1的更新时，我们可以假想是哪个人选了第i+1个点。这个记录过程类似于背包。那么$f[i][j]和f[j][i]$维护的是一样的东西。
所以可以强制i>j.

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 5010
#define DB double
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
DB f[2][N];
int i,j,k,l,n,o;
DB x[N],y[N];
DB dis(int a,int b){return sqrt((x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b]));
}
int main(){scanf("%d",&n);fo(i,1,n) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);fo(j,1,n-1)f[o][j]=dis(n,n-1)+dis(n,j); fd(i,n-2,2){o=1-o;fo(j,1,i-1)f[o][j]=min(f[1-o][j]+dis(i+1,i),f[1-o][i]+dis(i+1,j));}printf("%.4lf",f[o][1]+dis(1,2)); return 0;
}