极限计算

$第一步:先看x\to value确定类型$
$7种未定型:\frac{\infty }{\infty },\frac{0}{0},1^{\infty },0^{\infty },{\infty }^0,0^0,\infty -\infty$

$原则：\frac{f(x)}{x^k},k已知上下同阶，k未知泰勒展开到无法抵消$

$1.$
$等价代换:t=\frac{1}{x}$
$非零因子(包括L^{\prime }过程中每次检查能否提出)$
$有理化(分子分母同乘除其他或x^n[去除根号或凑等价无穷小])$

$(x^x{)}_x^{\prime }=(e^{xlnx}{)}_x^{\prime }=e^{xlnx}(lnx+1)=x^x(lnx+1)$
$2.$
$极限类型1^{\infty }=e^A$
$计算题没有1：$
$\underset{x\to \square }{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\underset{x\to \square }{\lim }(1+(f(x)-1){)}^{g(x)}$
$A=\underset{x\to \square }{\lim }(f(x)-1)g(x)$
$原极限=e^A=e^{\underset{x\to \square }{\lim }(f(x)-1)g(x)}$
$3.$
$系数a相同，极限类型1^{\infty }则:$
$\underset{x\to \infty }{\lim }=(\frac{ax+b}{ax+c}{)}^{hx+k}=e^{\frac{(b-c)h}{a}}$
$看到极限次幂大小为\infty ，基本确定为1^{\infty }型$

$出现e^{\frac{1}{x}}或|x|因子考虑左右极限$

$$\begin{gathered} 扩技巧： \\ arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}(证明f^{\prime }(x)=0,说明f(x)=c,带入0得\frac{\pi }{2},x\in R) \\ arcsinx+arccosx=\frac{\pi }{2}\to arcsinx-\frac{\pi }{2}=-arccosx \end{gathered}$$

$\underset{n\to \infty 或0}{\lim }为数列极限【不连续】此时不能L^{\prime }，也不能Taylor，若要使用则需先令x=n转换为函数极限$

$$\begin{gathered} 易错或典例 \\ 1-\sqrt{1+x}=1-(1+-\frac{1}{2}x+o(x))\sim -\frac{1}{2}x \end{gathered}$$
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^x}极限不存在，\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{2^x}(不存在)\ne \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{2^x}(值为0)$

$$\begin{gathered} 左极限\ne 右极限：e^x,arctanx \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }arctanx=\frac{\pi }{2},\underset{x\to -\infty }{\lim }arctanx=-\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x-sinx}{x+sinx}不能L^{\prime }(求导后极限不存在),上下同除x，得极限为1$
$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2-ln(1+\frac{1}{x})类型为\infty -\infty ,看到\frac{1}{x}固定倒代换t=\frac{1}{x}$

$拆分：+1-1,+x-x,+\sqrt{cosx}-\sqrt{cosx},拆分成两部分求极限$

$数列极限\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{n-lnn}{n+lnn}{)}^{\frac{n}{lnn}}=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1-\frac{lnn}{n}}{1+\frac{lnn}{n}}{)}^{\frac{n}{lnn}}=1,只要次幂部分为\infty ，可判断为1^{\infty }$

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}需t=\frac{1}{x}替换后才可以使用泰勒公式 \\ 原式=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }(\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5}{)}^{\frac{1}{6}}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5}{)}^{\frac{1}{6}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{(1+t{)}^{\frac{1}{6}}-(1-t{)}^{\frac{1}{6}}}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{3}t+o(t)}{t}=\frac{1}{3}(偶数次幂0^{+}[非重点,写t\to 0也行]【T的使用前提】) \end{gathered}$$
$此题也可直接等价无穷小：原式=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }(\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5}{)}^{\frac{1}{6}}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5}{)}^{\frac{1}{6}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{(1+t{)}^{\frac{1}{6}}-(1-t{)}^{\frac{1}{6}}}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{(1+t{)}^{\frac{1}{6}}-1+1-(1-t{)}^{\frac{1}{6}}}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{(1+t{)}^{\frac{1}{6}}-1}{t}+\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-(1-t{)}^{\frac{1}{6}}}{t}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}负负得正$

$a^x\sim a^{x}lna类似e^x的泰勒公式，但是一般不用，而是用L^{\prime }(看条件)$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }sinx(sinx)=\underset{x\to 0}{\lim }sinx-\frac{1}{6}si{n}^{3}x...=\underset{x\to 0}{\lim }(x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3))-\frac{1}{6}(x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3){)}^3+o(x^3) \\ =\underset{x\to 0}{\lim }x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }tan(tanx)=\underset{x\to 0}{\lim }tanx+\frac{1}{3}ta{n}^{3}x+...=\underset{x\to 0}{\lim }(x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3))+\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3){)}^3+o(x^3) \\ =x+\frac{2}{3}{x}^3+o(x^3) \end{gathered}$$

$推出：tan(tanx)-sinx(sinx)=x^3+o(x^3)$

$$\begin{gathered} 另一种做法:\underset{x\to 0}{\lim }tan(tanx)-sinx(sinx)=\underset{x\to 0}{\lim }(tan(tanx)-tanx)+(tanx-sinx)+(sinx-sinx(sinx)) \\ =\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3))+(\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3))+(\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3))=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^3+o(x^3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e}{x}的(1+x{)}^{\frac{1}{x}}部分不能用e等价替换，(在同一极限下，不能分次求极限) \\ 原式=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ln(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}-e}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ln(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}-e}{x}[用公式e^{f(x)}-e^{g(x)},提取e^{g(x)}] \\ =e\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{(\frac{1}{x}ln(1+x)-1)}-1}{x}=e\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}ln(1+x)-1}{x}[Taylor]=e\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-x}{x^2}=e\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}=-\frac{1}{2}e \end{gathered}$$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{2}{\pi }arctanx-1)x=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\pi }(arctanx-\frac{\pi }{2})x=\frac{2}{\pi }\underset{x\to +\infty }{\lim }(-arctan\frac{1}{x})x[记技巧]=-\frac{2}{\pi }$

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}{)}^n=\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2}{)}^x[函数极限才可泰特] \\ 由1^{\infty }=e^A，A=\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2}-1)x=不能[\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{(1+a-1{)}^{\frac{1}{x}}+(1+b-1{)}^{\frac{1}{x}}-2}{2})x(a-1,b-1不能确定无穷小，不能T，用L^{\prime })] \\ 正解：[令t=\frac{1}{x}]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{a^t+b^t-2}{2t}=[L^{\prime }]\underset{t\to 0}{\lim }\frac{a^{t}lna+b^{t}lnb}{2}=\frac{lnab}{2}=\frac{1}{2}lnab=ln\sqrt{ab} \\ 原式=e^A=e^{ln\sqrt{ab}}=\sqrt{ab} \end{gathered}$$

\\~ \\ \\~  

$$\begin{gathered} 总结： \\ 7种未定型解法： \\ {1}^{\infty }=e^A=e^{\underset{x\to \square }{\lim }f(x)} \\ 0\ast \infty 把求导更难的放分子，其余放分母，再L^{\prime } \\ \frac{0}{0}用L^{\prime },T \\ \frac{\infty }{\infty }用L^{\prime },T,看最高次系数 \\ \infty -\infty 通分 \\ {0}^0用e^{ln指数化} \\ 无穷小量\ast 有界量=0 \\ 区分左右极限： \\ ①如e^x要分左右极限分别计算(图像左极限!=右极限) \\ ②分段函数[x] \end{gathered}$$

求导计算

$1.利用导数定义求导:$

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
$复杂求导配合非零因子带入,拆分$
$变型f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}$
$当x-x_0=\Delta x无穷小时,导数值近似等于x=x_0处的斜率$

$$\begin{gathered} 扩：\frac{0}{0}型极限，但没有说在x=x_0的去心领域内可导，只说在x=x_0这个点可导， \\ 不能用L^{\prime },只能用导数定义求极限(导数定义公式本身就是求极限) \end{gathered}$$
$反之没有说只在x=x_0这个点可导，可L^{\prime },注意复合函数求导$

$分段函数求导:分段点只能用导数定义，分段区间用求导法则$

$$\begin{gathered} |x|在x=0连续但不可导(图像连续但不光滑) \\ {f}_{-}^{\prime }(0)=-1,f_{+}^{\prime }(0)=1,f_{-}^{\prime }(0)\ne -1,f_{+}^{\prime }(0)即|x|在x=0不可导 \end{gathered}$$
`
$$\begin{gathered} 2.复合函数 \\ f(u),u=f(z),z=f(x)\to (f(u){)}^{\prime }=f^{\prime }(u)u_z^{\prime }{z}_x^{\prime }=f^{\prime }(u)f^{\prime }(z)f^{\prime }(x) \\ 判断复合：比如sin\frac{1}{x},基本求导公式只学过sinx，没有sin\frac{1}{x}，说明其为复合函数，用复合函数求导 \end{gathered}$$

$ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}=\frac{1}{2}[ln(1-x)-ln(1+x^2)]$

$ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})=\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$
$积分：\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+c$

$复合函数求导...$

$隐函数求导:$

$$\begin{gathered} 由方程F(x,y)=0,确定y=y(x)函数，求\frac{dy}{dx} \\ 方法1：两边同时对x求导，把y看成x的函数 \end{gathered}$$
$如y^2=2y{y}^{\prime }$

$$\begin{gathered} 参数方程求导： \\ 一阶y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)} \\ {y}^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(y^{\prime })}{dx}=\frac{d(y^{\prime })}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}{)}_t^{\prime }\frac{1}{x^{\prime }(t)} \\ (其中倒数计算\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{x^{\prime }(t)}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 例: \\ 1.一阶求y^{\prime } \\ \{\begin{array}{l}x=sint\\ y=cos2t\end{array} \end{gathered}$$
$y^{\prime }=\frac{(cos2t{)}_t^{\prime }}{(sint{)}_t^{\prime }}=\frac{-2sin2t}{cost}$

$$\begin{gathered} 2.二阶求y^{\prime \prime } \\ \{\begin{array}{l}x=\frac{t^2}{2}\\ y=1-t\end{array} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} y^{\prime }=\frac{(1-t{)}_t^{\prime }}{{\frac{t^2}{2}}_t^{\prime }}=-\frac{1}{t} \\ {y}^{\prime \prime }=\frac{d(y^{\prime })}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{d(y^{\prime })}{dt}\frac{1}{\frac{dx}{dt}}[\frac{dx}{dt}在计算y^{\prime }时已经算出，带入\frac{dx}{dt}和y^{\prime }] \\ =(-\frac{1}{t}{)}_t^{\prime }(\frac{1}{t})=t^{-2}(\frac{1}{t})=t^{-3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 分段函数求导: \\ 连续：\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0) \\ 一元函数：可微\iff 可导\ne 连续(可导必连续，图像相连且光滑) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 例: \\ 讨论y=e^{|x|}在x=0的可导性 \\ y=e^{|x|}\{\begin{array}{l}{e}^{x}x>0\\ 1x=0\\ e^{-x}x<0\end{array} \end{gathered}$$

$[注：若y=e^{|x|}在x=0连续：\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(x_0)=1,此处需\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1]$
$[注：若y=e^{|x|}在x=0可导：f_{+}^{\prime }(0)=f_{-}^{\prime }(0)]$
$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{e^{-x-}1}{x}=-1$
$则y=e^{|x|}在x=0处不可导(f^{\prime }(0)不存在)$

$$\begin{gathered} 问f(x)的不可导点的个数 \\ (常规解法：左右极限是否相等-连续且极限\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)是否等于函数值f(x_0) \\ 记结论： \\ 绝对值内外相等则可导 \\ 如f(x)=|x|在x=0不可导,而g(x)=x|x|在x=0可导 \\ 又如x(x+1)x(+2)|x(x+1)|在x=0和x=-1可导，在x=-2不可导，1个不可导点 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 变限积分求导!!! \\ 微积分基本定理：f(x)连续，F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt \\ {\int }_a^{b}f(x)dx可转化为[a,b]的图形面积 \\ 重要变型公式： \\ ({\int }_a^{g(x)}f(t)dt{)}^{\prime }=f(g(x))g^{\prime }(x) \\ ({\int }_{h(x)}^{a}f(t)dt{)}^{\prime }=(-{\int }_a^{h(x)}f(t)dt{)}^{\prime } \\ ({\int }_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt{)}^{\prime }=f(h(x))h^{\prime }(x)-f(g(x))g^{\prime }(x) \end{gathered}$$

$[{\int }_a^{x}f(t,x)dt若t,x无法分离，用变量替换]$

$$\begin{gathered} 例： \\ 注意：只允许字母x出现在积分上下限中 \\ y={\int }_0^x(x(g(t))-tg(t))dt={\int }_0^{x}x(g(t)dt-{\int }_0^{x}tg(t))dt \\ =x{\int }_0^{x}g(t)dt-{\int }_0^{x}tg(t))dt[运用(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }] \\ {y}^{\prime }=(x{\int }_0^{x}g(t)dt-{\int }_0^{x}tg(t))dt{)}^{\prime }={\int }_0^{x}g(t)dt+xg(x)-xg(x)={\int }_0^{x}g(t)dt \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 根据(C{)}^{\prime }=0： \\ ({\int }_a^{b}f(x)dx{)}^{\prime }=(F(x){|}_a^b{)}_x^{\prime }=(F(b)-F(a){)}^{\prime }=0[没有含x字母，视为常数] \\ 对比： \\ \frac{d}{dx}{\int }_a^{b}sin{x}^{2}dx=0 \\ \frac{d}{db}{\int }_a^{b}sin{x}^{2}dx=(F(b)-F(a){)}_b^{\prime }=f(b)-0=f(b)=sin{b}^2[熟练后可直接写sin{b}^2] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 求导与积分(凑微分)[求导容易积分难] \\ (\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}逆运算\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+c \\ {f}^{\prime }(\Delta )=f^{\prime }(\Delta )+\Delta f(\Delta )=0\ast \Delta =0\to 【e^{\Delta x}】 \\ (xlnx{)}^{\prime }=lnx+1,(\frac{lnx}{x}{)}^{\prime }=\frac{1-lnx}{x^2} \\ \int \frac{1-lnx}{(x-lnx{)}^2}dx=\int \frac{\frac{1-lnx}{x^2}}{\frac{(x-lnx{)}^2}{x^2}}dx=\int \frac{d\frac{lnx}{x}}{(1-\frac{lnx}{x}{)}^2}[d中可等价添加常数]=-\int \frac{d(1-\frac{lnx}{x})}{(1-\frac{lnx}{x}{)}^2}=\frac{1}{1-\frac{lnx}{x}}+c \end{gathered}$$

$若题中告知f^{\prime }(x)存在=>导数定义求极限:$

$f^{\prime }(x_0)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+g(t))-f(x_0)}{g(t)}$
$用分子相减的部分做分母![满足变型后可确定]$

$f^{\prime }(1)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1+2sinx)-f(1)}{2sinx}$
$f^{\prime }(1)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-3tanx)}{3tanx}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1-3tanx)-f(1)}{-3tanx}$

$凑导数定义例题：$

\\~\\~  

$扩结论:若\underset{x\to \square }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}\exists 且分母\underset{x\to \square }{\lim }g(x)=0\Rightarrow \underset{x\to \square }{\lim }f(x)=0$

$例：求f(x)在x=1可导,已知\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^{x^2})-3f(1+si{n}^{2}x)}{x^2}=2,求f^{\prime }(1)$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^{x^2})-3f(1+si{n}^{2}x)}{x^2}=2$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^{x^2})-f(1)+3f(1)-3f(1+si{n}^{2}x)-2f(1)}{x^2}=2$
$根据x=1极限\exists 且分母\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0\Rightarrow 分子极限=0，带入x=1,f(1)-3f(1)=0\Rightarrow f(1)=0$
$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{f(e^{x^2})-f(1)}{e^{x^2}-1})(\frac{f(e^{x^2}-1}{x^2})+3\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{f(1)-3f(1+si{n}^{2}x)}{-si{n}^{2}x})(\frac{-si{n}^{2}x}{x^2})=2$
$f^{\prime }(1)-3f^{\prime }(1)=2$
$f^{\prime }(1)=-1$

$经典考题：$
$设y=f(x),由方程y-x=e^{x(1-y)}确定,求\underset{n\to \infty }{\lim }[f(\frac{1}{n})-1]n$

$隐函数求导基本功，(尝试x=0,1,-1)代入法x=0,y=1(即f(0)=1)$
$对x求导y^{\prime }-1=e^{x(1-y)}(1-y+x(-y{)}^{\prime })$
$代入x=0,y=1,y^{\prime }-1=0,即y^{\prime }=1,(代入的是x=0,即f^{\prime }(0)=1)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\frac{x=\frac{1}{n}}{}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0}$

$$\begin{gathered} 原式\underset{n\to \infty }{\lim }[f(\frac{1}{n})-1]n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0}=f^{\prime }(0)=1 \\ (代入f(0)=1,f^{\prime }(0)=1) \end{gathered}$$