从高斯分布推导瑞利分布

瑞利分布是无线通信中常见的信道模型，这里就来推导一下，所谓瑞利分布就是两个垂直分量服从独立且相同的标准高斯分布叠加之后的模。先来看看高斯分布的表达式
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
其中$\sigma$是分布的方差，$\mu$是分布的均值。
假设$X_1,X_2\sim N(0,{\sigma }^2)$,$X^2={X_1}^2+{X_2}^2$,现在需要推导$X$的概率密度函数。$x_1$和$x_2$的联合概率密度 如下：
$$\begin{array}{r}f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2{\sigma }^2}\right).\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}F(X)=P(X\le x)& =P(\sqrt{{X_1}^2+{X_2}^2}\le x)\\ & =\underset{{x_1}^2+{x_2}^2\le x^2}{\iint }\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2{\sigma }^2}\right)d{x}_{1}d{x}_2\\ & =\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{x}r\exp \left(-\frac{r^2}{2{\sigma }^2}\right)dr\\ & =1-\exp \left(-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)\end{array}$$
此时$f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{x}{{\sigma }^2}\exp \left(-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)$,注意上述积分的定义域是$x\ge 0$