math@一元函数积分@换元法

第一换元法

• 设

  • 被积函数$g(x)=f(u);u=\varphi (x)$

  • $f(u)$连续,$\varphi (x)$具有连续的一阶导数${\varphi }^{\prime }(x)$,则

  • $$\begin{gathered} S=\int g(x)dx=\int f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)dx=\int f(\varphi (x))d(\varphi (x)) \\ 令\varphi (x)=u \\ S=\int f(u)du \end{gathered}$$

    • 设被积分函数$g(x)=f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$
      • 即被积函数可以凑成某个复合函数$f(\varphi (x))$和${\varphi }^{\prime }(x)$的乘积
    • 且,如果$\int f(u)du$容易求(积分公式表中有),那么第一换元法往往很有效
      • 选择合适的$u=\varphi (x)$,并且凑成$g(x)=f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$是关键
      • $u=\varphi (x)$往往是一个幂函数

例

• $$\begin{gathered} S=\int \frac{1}{1+x}dx=\int \frac{1}{1+x}d(1+x) \\ 令u=1+x \\ S=\int \frac{1}{u}du=\ln |u|+C=\ln |1+x|+C \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} \int e^{2x}dx=\int e^{2x}\frac{1}{2}d(2x)=\frac{1}{2}\int e^{2x}d(2x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C \\ (u=2x) \end{gathered}$$

• 容易通过求导验证上述结果的正确性

第二换元法

• 设$f(x)$连续;

• $x=\varphi (t)$具有连续倒数${\varphi }^{\prime }(t)$

• $\varphi (t)$单调(${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$)

  • 则
    $$\int f(x)dx\stackrel{x=\varphi (t)}{=}{\left(\int \varphi (t){\varphi }^{\prime }(t)dt\right)}_{t=\psi (x)={\varphi }^{-1}(x)}$$

  • 其中$x=\varphi (t)$可能不容易看出

    • 往往通过寻找$\varphi (t)$的反函数$t=\psi (x)={\varphi }^{-1}(x)$

    • 再从$t=\psi (x)={\varphi }^{-1}(x)$计算出$x=\varphi (t)$

  • 如果$\int \varphi (t){\varphi }^{\prime }(t)dt$是容易计算的,那么第二换元法往往有效

• 第二还原法比较适用于难以凑微分的情况下

  • 例如,被函数$f(x)$中含有根式

例

• $$\begin{gathered} S=\int \frac{\sqrt{x-1}}{x}dx \\ 令t=\psi (x)=\sqrt{x-1} \\ x=\varphi (x)=t^2+1 \\ dx=d(\varphi (t))=d(t^2+1)=2tdt \\ S=\int \frac{t}{t^2+1}2tdt=2\int \frac{t^2}{t^2+1}dt=2\int (1-\frac{1}{t^2+1})dt \\ =2(t-\arctan t)+C \\ 回代t=\psi (x)=\sqrt{x-1} \\ S=2(\sqrt{x-1}-\arctan \sqrt{x-1})+C \end{gathered}$$