$$e = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$$

$\frac{de^x}{dx} = \frac{e^{x+dx} - e^x}{dx}=e^x\frac{e^{dx}-1}{dx}$

即证：
$\frac{e^{dx}-1}{dx}=1$

令：$t = e^{dx} - 1$，可得$dx = \ln(t+1)$

故
$\frac{e^{dx}-1}{dx}=\frac{t}{\ln(t+1)}=\frac{1}{\ln(1 + t)^\frac{1}{t}}$

由$e$的定义式可得$\frac{e^{dx}-1}{dx}=1$

也即$\frac{de^x}{dx}=e^x$故得证