文章目录
- 一 基本概念
- 二 公式与积分法
- 2.1 基本公式
- 2.2 换元积分
- 凑微分法
- 换元积分法
- 2.3 分部积分
- 三 三角有理函数
- 3.1 有理函数积分
- 3.2 反三角求导
- 3.3 万能公式
- 3.4 三角函数
- 四 基本题型
- 4.1 概念
- 4.2 换元积分法
- 4.3 分部积分
- 4.2 有理与三角函数
- 五 接力题典
- 5.1 入门
- 5.2 基础
- 5.3 提高
- 六 补充
一 基本概念
原函数 [函数]
F(x)定义于I,对一切x∈I,有F’(x) = f(x)【确保可导】,则称F(x)为f(x)的原函数。
存在定理
- f(x)在I区间上连续(变上限积分可导),则f(x)在I上一定存在原函数。反之不对
- f(x)有第一类间断点(可去、间断),则无原函数【符号函数sgn的“原函数”在x=0点不可导】;第二类间断点可能有原函数
不定积分 [集合]
f(x)的所有原函数F(x)+C 称为f(x)的不定积分。记为∫f(x)dx = F(x)+C。
基本性质
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x ( k ≠ 0 ) d ∫ f ( x ) d x = f ( x ) d x , ∫ d f ( x ) = f ( x ) + C \int \bigg[f(x) \pm g(x) \bigg]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx \\ \int kf(x)dx = k\int f(x)dx \quad (k\neq 0) \\ d \int f(x)dx = f(x)dx,\int df(x)=f(x)+C ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k=0)d∫f(x)dx=f(x)dx,∫df(x)=f(x)+C
奇偶性 (以f(x)为核心,向两边推导)
f’(x) | f(x) | F(x) |
---|---|---|
偶 | ⬅奇➡ | 偶 |
奇 | ⬅偶 | 不确定,有常数 |
周期 | ⬅周期 | 不一定是周期 |
二 公式与积分法
求完不定积分记得加一个常数C
2.1 基本公式
补充
∫ 1 1 + cos x d x = ∫ 1 2 cos 2 ( x / 2 ) d x = ∫ sec 2 ( x / 2 ) d ( x / 2 ) = tan x 2 + c \int \frac{1}{1+\cos x}dx = \int \frac{1}{2\cos^2 (x/2)}dx = \int \sec^2 (x/2)d(x/2) = \tan \frac{x}{2}+c ∫1+cosx1dx=∫2cos2(x/2)1dx=∫sec2(x/2)d(x/2)=tan2x+c
2.2 换元积分
凑微分法
φ ( x ) \varphi(x) φ(x)是可导函数, ∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = ∫ f [ φ ( x ) ] d [ φ ( x ) ] = F [ φ ( x ) ] + C . \begin{aligned} \int f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x =\int f[\varphi(x)] \mathrm{d}[\varphi(x)] =F[\varphi(x)]+C . \end{aligned} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]d[φ(x)]=F[φ(x)]+C.
注解:
换元积分法
2.3 分部积分
适用于两类不同函数相乘,反对幂指 u-v‘,如反三角和ex出现时候倾向把ex放入d(ex)
推导
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ u v = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x = ∫ v d u + ∫ u d v ∫ u v ′ d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u \begin{aligned} &(uv)' = u'v + uv' \\ & uv = ∫ u'vdx + ∫uv'dx = ∫vdu + ∫udv\\ & ∫uv'dx = ∫udv = uv - ∫vdu \end{aligned} (uv)′=u′v+uv′uv=∫u′vdx+∫uv′dx=∫vdu+∫udv∫uv′dx=∫udv=uv−∫vdu
使用情形
注意
使用分部积分时,被积函数里ln 和 arc 只能存在一个,把另一个和其他放到后面d()里面去。
积不出 不等于 没有原函数,只是原函数不是初等函数
p(x)*三角 一般把三角放后面、p(x)反三角把p(x)放进去、ex可能要多次
【例题】2018数一
三 三角有理函数
3.1 有理函数积分
30多年只考过2、3题
有理函数概念:设R(x) = P(x)/Q(x),其中P(x),Q(x)为多项式,称R(x)为有理函数。[deg:次数]
d e g P ( x ) < d e g Q ( x ) , R ( x ) 为真分式 d e g P ( x ) ≥ d e g Q ( x ) , R ( x ) 为假分式 deg P(x) < deg Q(x),R(x)为真分式 \\ deg P(x) \ge deg Q(x),R(x)为假分式 degP(x)<degQ(x),R(x)为真分式degP(x)≥degQ(x),R(x)为假分式
两种积分方法
- R(x)为真分式时,将R(x)拆成部分和
- R(x)为假分式时,将R(x)拆成多项式+真分式,再把真分式拆成部分和
具体的手法
- 真分式 分子次数小于分母 拆成部分和
情况1 普通情况 Δ>0 因式分解
3 x − 5 ( 2 x + 1 ) ( x − 2 ) = A 2 x + 1 + B x − 2 A + 2 B = 3 , − 2 A + B = − 5 \frac{3x-5}{(2x+1)(x-2)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-2} \\ A+2B = 3,-2A+B = -5 \\ (2x+1)(x−2)3x−5=2x+1A+x−2BA+2B=3,−2A+B=−5
情况2 分母有平方
x 2 − 3 ( x + 1 ) 2 ( 2 x − 1 ) = A x + 1 + B ( x + 1 ) 2 + C 2 x − 1 \frac{x^2 - 3}{(x+1)^2(2x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{2x-1} (x+1)2(2x−1)x2−3=x+1A+(x+1)2B+2x−1C
情况3 分母中有**(ax+b)n**
A 1 a x + b + A 2 ( a x + b ) 2 + . . . + A n ( a x + b ) n \frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+...+\frac{A_n} {(ax+b)^n} ax+bA1+(ax+b)2A2+...+(ax+b)nAn
情况4 Δ<0且分子为常数 凑平方和用反三角
∫ d x x 2 + x + 1 = ∫ d ( x + 1 / 2 ) ( 3 2 ) 2 + ( x + 1 / 2 ) 2 = 2 3 a r c t a n [ ( x + 1 / 2 ) 3 2 ] + C ∫\frac{dx}{x^2+x+1} = ∫\frac{d(x+1/2)}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (x+1/2)^2} = \frac{2}{\sqrt{3}}arctan\bigg[\frac{(x+1/2)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\bigg]+C \\ ∫x2+x+1dx=∫(23)2+(x+1/2)2d(x+1/2)=32arctan[23(x+1/2)]+C
情况5 Δ<0且分子带有x,分母可凑平方公式, 分母求导为2x+1,往它那边凑
∫ x + 2 x 2 + x + 1 d x = 1 2 ∫ ( 2 x + 1 ) + 3 x 2 + x + 1 d x = 1 2 ∫ d ( x 2 + x + 1 ) x 2 + x + 1 + 3 2 ∫ d ( x + 1 / 2 ) ( 3 2 ) 2 + ( x + ( 1 / 2 ) ) 2 ∫\frac{x+2}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2}∫\frac{(2x+1)+3}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2}∫\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1} + \frac{3}{2}∫\frac{d(x+1/2)}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (x+(1/2))^2} ∫x2+x+1x+2dx=21∫x2+x+1(2x+1)+3dx=21∫x2+x+1d(x2+x+1)+23∫(23)2+(x+(1/2))2d(x+1/2)
情况6 分母x带有平方项
∫ a x ( 1 + x 2 ) = ∫ A x + B x + C 1 + x 2 ∫\frac{a}{x(1+x^2)} = ∫\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2} ∫x(1+x2)a=∫xA+1+x2Bx+C
情况7 分子分母次数差异较大时
∫ 1 x ( x 6 + 3 ) d x = 1 6 ∫ d ( x 6 ) x 6 ( x 6 + 3 ) = 1 6 ∫ d t t ( t + 3 ) = 1 6 ∗ 3 ln x 6 x 6 + 3 + C \int \frac{1}{x(x^6+3)}dx = \frac{1}{6} \int \frac{d(x^6)}{x^6(x^6+3)} = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t(t+3)} = \frac{1}{6*3}\ln \frac{x^6}{x^6+3} + C ∫x(x6+3)1dx=61∫x6(x6+3)d(x6)=61∫t(t+3)dt=6∗31lnx6+3x6+C
其他技巧
- 上下约分
∫ x 2 + 1 x 4 + 1 d x = ∫ 1 + 1 / x 2 x 2 + 1 / x 2 d x = ∫ d ( x − 1 / x ) ( x − 1 / x ) 2 + ( 2 ) 2 d x = ∫ d t ( 2 ) 2 + t 2 = 1 2 a r c t a n t 2 \int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx = \int \frac{1+1/x^2}{x^2+1/x^2}dx = \int \frac{d(x-1/x)}{(x-1/x)^2+(\sqrt{2})^2}dx = \int \frac{dt}{(\sqrt{2})^2+t^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}arctan \frac{t}{\sqrt{2}} ∫x4+1x2+1dx=∫x2+1/x21+1/x2dx=∫(x−1/x)2+(2)2d(x−1/x)dx=∫(2)2+t2dt=21arctan2t
- 若带根式,则考虑分子\分母有理化
- 假分式 分子次数大于分母拆为多项式与真分式子之和
x 3 + 3 x 2 ( 1 + x ) = x 3 + x 2 − x 2 + 3 x 2 ( 1 + x ) = 1 + 3 − x 2 x 2 ( 1 + x ) \frac{x^3+3}{x^2(1+x)} = \frac{x^3+x^2-x^2+3}{x^2(1+x)} = 1+\frac{3-x^2}{x^2(1+x)} x2(1+x)x3+3=x2(1+x)x3+x2−x2+3=1+x2(1+x)3−x2
【例题】2012数一
3.2 反三角求导
- arctan x
( 1 a a r c t a n ( x + b a ) ) ′ = ∫ d ( x + b ) a 2 + ( x + b ) 2 (\frac{1}{a}arctan(\frac{x+b}{a}))' = ∫\frac{d(x+b)}{a^2+(x+b)^2} (a1arctan(ax+b))′=∫a2+(x+b)2d(x+b)
- arcsin x
a r c s i n ( x + b a ) = ∫ d ( x + b ) a 2 − ( x + b ) 2 ( a > 0 ) arcsin(\frac{x+b}{a}) = ∫\frac{d(x+b)}{\sqrt{a^2-(x+b)^2}} (a>0) arcsin(ax+b)=∫a2−(x+b)2d(x+b)(a>0)
- arccos x
a r c c o s ( x ) = ∫ − 1 d x 1 − x 2 arccos(x) =∫-\frac{1 dx}{\sqrt{1-x^2}} arccos(x)=∫−1−x21dx
3.3 万能公式
一般不用
令 tan x 2 = t \tan \frac{x}{2}=t tan2x=t,则 ∫ R ( sin x , cos x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 1 + t 2 d t \int R(\sin x, \cos x) d x=\int R\left(\frac{2t}{1+t^{2}}, \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right) \frac{2}{1+t^{2}} d t ∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t,1+t21−t2)1+t22dt
3.4 三角函数
常见方法
sin x = cos ( x − π 2 ) ( tan x ) ′ = sec 2 x 1 + cos x = c o s 2 x 2 − sin 2 x 2 = 2 c o s 2 x 2 − 1 = 1 − 2 sin 2 x 2 \sin x = \cos (x-\frac{\pi}{2}) \\ (\tan x)'= \sec ^2 x \\ 1 + \cos x = cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = 2cos^2\frac{x}{2}-1=1-2\sin^2\frac{x}{2} \\ sinx=cos(x−2π)(tanx)′=sec2x1+cosx=cos22x−sin22x=2cos22x−1=1−2sin22x
四 基本题型
4.1 概念
4.2 换元积分法
- 上下除以x平方凑平方公式 + 常数平方 ==> 反三角公式
4.3 分部积分
4.2 有理与三角函数
- 出现 1+cos x可以考虑化为2cos^2 (x/2),出现sinx,cosx,可以考虑同时除以cosx化为secx。(tanx)’ = sec^x