引言

我们知道，e是一种常数，和$\pi$类似，都是一种被计算出来的常数，在实际中具有非常广泛的应用。

基于自然底数e，我们常常会用到自然指数$e^x$，自然对数$ln(x)$，但你知道e是怎么来的吗？

自然底数e

（图片来源于¹）

一种直观的理解方式是：$\pi$是周长和直径之比，e是连续增长过程的增长单位。

每当系统呈指数和持续增长时，就可以用自然底数e来近似，比如人口增长、放射性衰变、利息计算²等等。

e的数学计算公式（一）：

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{1\ast n}$$

e可以用来表达一种持续增长的完美复利情况。¹

假如有一个投资的收益率为100%，结算时间为1/n个单位时间，即每1/n个时间单位就按照$(1+\frac{1}{n})$进行增长，那么在结算时间最短的情况下，最大收益水平近似为e=2.7182818……。

ps.实际银行存款是按年结算，而非持续增长，以收益率3%为例，1年后的本金加利息为(1+r)*1 = 1.03。

用python的sympy科学计算库，可以实现函数求极限，我们来计算一下公式（一）：

import numpy as np
import sympy
from sympy import oo #表示无穷大n=sympy.Symbol('n')
y=(1+1/n)**n
result = sympy.limit(y,n,oo)
print("%.10f"%result)

输出的值就是e，打印：2.7182818285（小数点后10位）

e的数学计算公式（二）：

$$e=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$$

这个公式可以看作初始本金1，加上每一份利息及利息继续投入的资金增长量（假设是连续复利）¹。

单位时间x之后，增加利息$\int 1dx=x$。

利息$x$又挣了$\int xdx=\frac{1}{2}{x}^2$。

利息$\frac{1}{2}{x}^2$挣了$\frac{1}{3!}{x}^3$的利息，依此类推。

用python的sympy科学计算库对公式（二）进行计算，代码如下：

import sympy
from sympy import oon=sympy.Symbol('n')
result = sympy.summation(1/sympy.factorial(n),(n,0,oo))

sympy.factorial(n)表示阶乘，sympy.summation为求和表达式。
输出值，依旧是：2.7182818285……

因此，e可以非常方便地表达持续复合增长水平。

自然指数exp(x)

自然指数$e^x$，常常被写作exp(x)，具有很多神奇的性质。

比如自然指数的导数等于自然指数本身：
$$\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$$
自然指数exp(x)可以用来反映：在持续增长单位时间x之后的增长水平。
$$e^x=e^{rate\ast time}$$
比如连续增长率为5%，那么3个时间单位之后的增长水平为：$e^{0.05\ast 3}\approx 1.1618$，即3个时间单位后增长为原来的1.16倍。

自然对数ln(x)

自然对数ln(x)可以用来反映：达到一定增长水平所需的时间。³

$ln(1)=0$，从1增长到1，很显然所需的时间为0。

$ln(10)=2.302585092994046$，如果持续复合增长率为100%，则所需时间单位为2.3。

对数的乘法又可以分解为两个因子的加法。比如$ln(10)=ln(2\ast 5)=ln(2)+ln(5)$。

如果想要达到10倍的增长，持续复合增长率为100%，可以直接用2.3个时间单位（$ln(10)\approx 2.3$），也可以分为2步：先增长0.69个时间单位（$ln(2)\approx 0.69$）达到2倍，然后再持续增长1.61个时间单位（$ln(5)\approx 1.61$）增长5倍。

import mathmath.log(np.e)
#[out]:1.0math.log(10)
#[out]:2.302585092994046

math.log默认底数为e，如果求其他底的对数，可以用math.log(x,base)进行求解⁴。

小结

自然指数exp(x)可以反映：在单位时间x之后的持续增长水平。

自然对数ln(x)可以反映：达到一定增长水平所需的时间。

下一篇，将对比自然指数跟实际投资收益之间的区别，敬请关注。

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1. https://betterexplained.com/articles/definitions-of-e-colorized/ ↩︎ ↩︎ ↩︎

2. https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ ↩︎

3. https://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/ ↩︎

4. https://www.runoob.com/python/func-number-log.html ↩︎