今天刷到个算法视频，觉得很有意思，所以打算把它记录下来。

源代码

float Q_rsqrt(float number)
{long i;float x2, y;const float threehalfs = 1.5F;x2 = number * 0.5F;y = number;i = *(long *) &y;						// evil float point bit hacki = 0x5f3759df - (i >> 1);				// what the fuck?y = * (float *) &i;y = y * (threehalfs - (x2 * y * y)); 	// 1st iteration// y = y * (threehalfs - (x2 * y * y)); // 2nd iteration, can be removedreturn y;
}

二进制浮点数运算

• 参考标准 IEEE 754

• 计算机中 小数(浮点数)表示 由三部分二进制组成 ： S 符号位 sign, E 指数偏移值 exponent bias, M 尾数位 Mantissa。以32为 浮点数 float 为例：

  • 1位 符号位，8位指数位，23位有效数字位
  • $E\in (-127,128],M\in [0,2^{23}-1]$
  • 其表示值 Value $$\begin{array}{rl}{V}_{32}& =S\times 2^{E-127}\times (1+\frac{1}{2^{23}}M)\end{array}$$

• 拓展延伸

  • 双精度 浮点数 double

    $$\begin{array}{rl}{V}_{64}& =S\times 2^{E-1023}\times (1+\frac{1}{2^{51}}M)\end{array}$$

  • 尾数位（Mantissa），它的取值范围为 1 ~ 2 ，或者为 0~1。它也被称为分数值（fraction）、系数位（Coefficient），有效数字位（Significand）。

  • 特殊数值：

    • 0 : 0 00000000 0000000000000000000000
      0 : 1 00000000 0000000000000000000000
    • NaN:
      • 指数位所有位都是1, 小数位只要不全为0，就表示非数值
      • 例：0 11111111 11111111111100000010000
    • Infinity:
      • 符号位 0表示正无穷大，1表示负无穷大；
      • 指数位 所有位都是1；
      • 小数位所有位都是0。
      • 例：0 11111111 00000000000000000000000

类别	正负号	实际指数	有偏移指数	指数域	尾数域	数值
零	0	-127	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	0.0
负零	1	-127	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	−0.0
1	0	0	127	0111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	1.0
-1	1	0	127	0111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	−1.0
最小的非规约数	*	-127	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0001	±2× 2= ±2≈ ±1.4×10
中间大小的非规约数	*	-127	0	0000 0000	100 0000 0000 0000 0000 0000	±2× 2= ±2≈ ±5.88×10
最大的非规约数	*	-127	0	0000 0000	111 1111 1111 1111 1111 1111	±(1−2) × 2≈ ±1.18×10
最小的规约数	*	-126	1	0000 0001	000 0000 0000 0000 0000 0000	±2≈ ±1.18×10
最大的规约数	*	127	254	1111 1110	111 1111 1111 1111 1111 1111	±(2−2) × 2≈ ±3.4×10
正无穷	0	128	255	1111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	+∞
负无穷	1	128	255	1111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	−∞
NaN	*	128	255	1111 1111	non zero	NaN

对数技巧

• 因为 平方根底数 为 正 $S=+1$
• $$\begin{array}{rl}{\log }_2(V_{32})& ={\log }_2(2^{E-127}\times (1+\frac{1}{2^{23}}M))\\ & =E-127+{\log }_2(1+\frac{1}{2^{23}}M)\\ & \approx E-127+\frac{1}{2^{23}}M+\mu ,{\log }_2(1+x)\approx x+\mu \\ & \approx \frac{1}{2^{23}}(M+2^{23}\times E)+\mu -127\end{array}$$
• $M+2^{23}\times E=M+(E<<23)=$ (binary) $V_{32}$

平方根倒数

• $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$
• ${\log }_2(\frac{1}{\sqrt{y}})=-\frac{1}{2}{\log }_2(y)=-({\log }_2(y)>>1)$
• Let $\log (\Gamma )=-\frac{1}{2}\log (y)$
• $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2^{23}}(M_{\Gamma }+2^{23}\times E_{\Gamma })+\mu -127& =-\frac{1}{2}(\frac{1}{2^{23}}(M_y+2^{23}\times E_y)+\mu -127)\\ (M_{\Gamma }+2^{23}\times E_{\Gamma })& =\frac{3}{2}{2}^{23}(127-\mu )-\frac{1}{2}(M_y+2^{23}\times E_y)\\ & =\text{0x5f3759df}-(y>>1)\end{array}$$
• 再把二进制整数 转换成浮点数，结果为近似值，需要用牛顿迭代减少误差。

牛顿迭代

$y=\frac{1}{\sqrt{x}}\to x=\frac{1}{y^2}$
$f(y)=\frac{1}{y^2}-x$
$y_{\text{new }}=y-\frac{f(y)}{f^{\prime }(y)}=y-\frac{\frac{1}{y^2}-x}{-\frac{2}{y^3}}=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}x{y}^3$