杨辉三角

1.杨辉三角简介🕵️

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。

杨辉三角

在知道了杨辉三角后，那我们怎么样来实现它呢？下面就来介绍c语言最常见的两种解法，数组法和递归法。

2解法

2.1数组法🧐

数组法是我们最容易想到的一种解法，当我们把杨辉三角适当变形一下，如下图

在这里插入图片描述

看到这个图时，二维数组的这种解法便油然而生。这时候我们不慌写代码，先把思路理清楚，下笔才能“如有神”。

思路实现 😊

观察杨辉三角我们得知，每一行的第一个数据必为1，每一列的最后一个也是必为1，我们又知道每一行数据的个数刚好等于行数，例如第五行有五个数据，第七行有七个数据。也就是说当每一行的列数等于1时，或者列数等于行数时，其数据必为1。

除去每一行的第一个和最后一个数，我们还观察知道，中间的每一个数都等于他的上一行的相同列的数加上一行的前一列的数。例如，第五行第三列的数6，等于第四行第二列的数3加上第四行第三列的数3。

由此，我们实现的大概思路就是，定义一个二维数组，遍历二维数组将相应地数据存放到二维数组中，最后打印二维数组。

代码实现💻

前提准备🤯

首先我们先定义一个二维数组arr1，Rows和Cols分别是行和列，我们用define来定义行和列。

#define Row 100
#define Col 100

我们还定义了一个num值，表示打印num行的杨辉三角，并且利用断言assert，num值小于Rows，否则报错程序结束。

    int num = 0;int arr[Row][Col] = { 0 };scanf("%d", &num);assert(num < Row);

写入✍️

二维数组定义好之后，我们接下来就是把相应的数据存放到二维数组中，这里我们利用两层for循环嵌套遍历二维数组写入数据。代码如下：

for (int i = 0; i < num; i++){for (int j = 0; j <= i; j++){if (j == 0 || j == i){arr[i][j] = 1;}else{arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j - 1];}}}

这里我们需要注意的是，二维数组下标是从0开始，所以说我们把i和j的初值都赋值为0，并在if的判定条件里将 j == 1修改为j == 0。

输出✍️

输出打印杨辉三角我们还是利用两层for循环嵌套遍历打印输出，代码如下：

for (int i = 0; i < num; i++){/*blank = num - i - 1;while (blank--){printf(" ");}*/for (int j = 0; j <= i; j++){printf("%-3d ", arr[i][j]);}printf("\n");}

这里我们需要注意的是里面多了个blank变量和一个while循环，这两个的作用是打印每行数据前的空格，使我们打印出来的杨辉三角接近等腰三角形，我们去掉的话打印出来的杨辉三角是直角三角形，实况图如下：

打印空格图：
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去掉空格图：

还有一点就是%2d的2表示输出宽度，当大于输出宽度时，数据按原数据输出。当小于输出宽度2时，默认前补空格，有右对齐的效果。%-2d相反。

源代码🐒

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#define Row 100
#define Col 100
int main()
{int num = 0;int blank = 0;int arr[Row][Col] = { 0 };scanf("%d", &num);assert(num < Row);for (int i = 0; i < num; i++){for (int j = 0; j <= i; j++){if (j == 0 || j == i){arr[i][j] = 1;}else{arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j - 1];}}}for (int i = 0; i < num; i++){/*blank = num - i - 1;while (blank--){printf(" ");}*/for (int j = 0; j <= i; j++){printf("%-3d ", arr[i][j]);}printf("\n");}return 0;
}

2.2递归法🧐

思路实现🕵️

我们知道杨辉三角除去每一行的第一个和最后一个数是1外，其他的每个数都是其上一行的同一列与前一列的和，而我们要用递归法的话就需要先确定递归的两大要点，出口和递归体。我们画图来分析递归的解法。

在这里插入图片描述

如上图，如果我们要打印第五行的6的话，就等于第四行的3加上3，而两个3又分别等于第三行的1加上2，2又等于1加上1。由此可知，递归的出口为当列数为第一列或者最后一列时，返回数据1。递归体为上一行的同一列加上前一列，如果不是第一列或者最后一列时就继续递归。如下图：

在这里插入图片描述
代码实现💻
主函数✍️

int main()
{int num = 0;int blank = 0;scanf("%d", &num);for (int i = 0; i < num; i++){/*blank = num - i - 1;while (blank--){printf(" ");}*/for (int j = 0; j <= i; j++){printf("%2d ", Back_print(i, j));}printf("\n");}

这里的num和blank,while循环的功能与上文说的一样，就不提了。这里我们需要注意的是我们还是利用双层for循环嵌套，利用递归函数Back_Print的返回值直接打印。

递归函数✍️

int Back_print(int rows, int cols)
{if (cols == 0 || cols == rows){return 1;}else{return Back_print(rows - 1, cols) + Back_print(rows - 1, cols - 1);}}

这里我们需要注意的是，由于i与j的初始化还是从0开始，所以我们if的判定条件还是当Cols等于0或者Cols==Rows时，返回1。否则就递归传入上一行的同一列和前一列加起来。结果如图：

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去掉banlk后

源代码🐒

//递归法
int Back_print(int rows, int cols)
{if (cols == 0 || cols == rows){return 1;}else{return Back_print(rows - 1, cols) + Back_print(rows - 1, cols - 1);}}
int main()
{int num = 0;int blank = 0;scanf("%d", &num);for (int i = 0; i < num; i++){/*blank = num - i - 1;while (blank--){printf(" ");}*/for (int j = 0; j <= i; j++){printf("%2d ", Back_print(i, j));}printf("\n");}return 0;
}

杨辉三角的解法多种多样，这里介绍了比较常见的两种，相比较于递归法，数组法更加容易理解，递归法就相对来说比较抽象，对于递归法作者的建议是多多画图理解。递归法相比较于数组法，省去了二维数组的定义，不需要将数据存放直接打印，两种解法各有优点。本文鉴于作者水平有限，文中如有错误之处还望指正。
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