在数据分析和机器学习中，聚类是一种常用的无监督学习方法，它可以将数据点按照某种相似度标准进行分组，从而发现数据中的结构和模式。聚类算法有很多种，其中一种比较经典的是AGNES算法，它是一种基于层次的聚类算法，它的全称是Agglomerative Nesting，即凝聚式嵌套。在这篇博客中，我将介绍AGNES算法的原理和意义，并给出一个用Matlab实现的代码示例。

一、什么是AGNES算法

二、AGNES算法的意义

1.AGNES算法的优点

2.AGNES算法的应用场景

三、如何实现AGNES算法

1.AGNES算法大致思路

2.Matlab实现AGNES算法，对照每行代码标注详细注解

四、AGNES算法的总结和建议

这里是希望和大家一起进步的小高，愿意和读者们热情探讨😊

一、什么是AGNES算法

AGNES算法的原理是将数据集中的对象看作是一个图（graph）中的节点（node），然后根据节点之间的距离或者相似度来构建一个邻接矩阵（adjacency matrix）。邻接矩阵表示了图中节点之间是否相连以及相连程度。然后通过使用不同的连接方式（linkage）来计算不同簇之间的距离或者相似度，并且将最近或者最相似的两个簇合并成一个新的簇。这个过程重复进行，直到所有的节点都合并成一个大的簇为止。最后，根据需要划分的簇的个数，从合并过程中产生的树形结构（dendrogram）中切断一条水平线，得到最终的簇划分。

二、AGNES算法的意义

1.AGNES算法的优点

不需要预先指定簇的个数，可以自动发现合适的簇的个数。
可以生成一个树形结构，表示数据点之间的层次关系，方便进行可视化和分析。
可以使用不同的距离度量和链接方法，适应不同的数据特征和需求。

例如，如果我们想要对一些文本数据进行聚类，我们可以使用余弦相似度作为距离度量，并使用平均链接作为链接方法。

2.AGNES算法的应用场景

数据挖掘：可以用于对大量数据进行分组和分类，发现数据中的潜在模式和规律。
信息检索：可以用于对文档或网页进行聚类，提高检索效率和质量。
生物信息学：可以用于对基因或蛋白质进行聚类，揭示生物系统的结构和功能。
图像处理：可以用于对图像进行分割或压缩，提高图像质量和效果。

三、如何实现AGNES算法

1.AGNES算法大致思路

（1）构建邻接矩阵：给定一个数据集X，其中包含n个对象，每个对象有p个属性。首先计算每两个对象之间的距离或者相似度，然后根据一定的规则来构建一个n乘n的邻接矩阵A。常用的规则有以下几种：

K近邻法（KNN）：对于每个对象，只与其最近的K个对象相连，即A[i,j]=1当且仅当对象i和j是彼此最近的K个对象之一，否则A[i,j]=0。
ε-邻域法（ε-neighborhood）：对于每个对象，只与其距离小于ε的对象相连，即A[i,j]=1当且仅当对象i和j之间的距离小于ε，否则A[i,j]=0。
全连接法（fully connected）：对于每个对象，与所有其他对象相连，即A[i,j]等于对象i和j之间的距离或者相似度。

（2）选择连接方式：根据不同的连接方式来计算不同簇之间的距离或者相似度。常用的连接方式有以下几种：

最小距离法（single linkage）：使用两个簇中最近的两个对象之间的距离作为簇之间的距离。
最大距离法（complete linkage）：使用两个簇中最远的两个对象之间的距离作为簇之间的距离。
平均距离法（average linkage）：使用两个簇中所有对象之间的平均距离作为簇之间的距离。
中心距离法（centroid linkage）：使用两个簇中各自计算出来的中心点之间的距离作为簇之间的距离。

（3）合并最近或者最相似的两个簇：根据所选用的连接方式，找出邻接矩阵中最小或者最大的元素，并且将对应的两个簇合并成一个新的簇。同时更新邻接矩阵，删除被合并掉的两个簇的行和列，增加新的簇的行和列，计算新的簇与其他簇之间的距离或者相似度。

（4）重复上一步，直到所有的节点都合并成一个大的簇为止：每次合并后，邻接矩阵的维度减一，直到只剩下一个元素为止。在合并的过程中，记录下每次合并的两个簇的编号和距离或者相似度，以及新产生的簇的编号。这些信息可以用来绘制树形结构（dendrogram）。

（5）根据需要划分的簇的个数，从树形结构中切断一条水平线，得到最终的簇划分：根据树形结构中不同高度的水平线，可以得到不同个数的簇划分。一般来说，水平线越高，划分出来的簇越少，水平线越低，划分出来的簇越多。可以根据实际问题或者数据特点来选择合适的水平线位置。

2.Matlab实现AGNES算法，对照每行代码标注详细注解

% 生成一个包含两个月牙形簇的数据集，共有300个样本，每个样本有两个属性
X = [moon(150,10,50,10);moon(150,10,-50,-10)]; % 使用自定义函数moon生成月牙形数据
y = [ones(150,1);2*ones(150,1)]; % 生成真实的簇标签
scatter(X(:,1),X(:,2),[],y) % 绘制数据集的散点图，不同颜色表示真实的簇标签
title('True labels') % 添加标题% 构建邻接矩阵，使用欧氏距离计算距离
n = size(X,1); % 获取样本数
A = zeros(n,n); % 初始化邻接矩阵
for i = 1:n % 遍历每一个样本for j = i+1:n % 遍历其他样本A(i,j) = norm(X(i,:)-X(j,:)); % 计算欧氏距离A(j,i) = A(i,j); % 由于距离是对称的，所以复制到对角位置end
end% 选择连接方式，这里使用最小距离法（single linkage）
method = 'single';% 初始化合并记录矩阵Z，它有n-1行和3列，每一行记录了一次合并操作
% 第一列和第二列是被合并掉的两个簇的编号，第三列是合并后产生的新簇的编号
Z = zeros(n-1,3);% 初始化当前存在的簇编号向量C，它有n个元素，每个元素表示对应样本所属的簇编号
C = (1:n)';% 初始化当前存在的簇数k，它等于样本数n
k = n;% 合并最近或者最相似的两个簇，重复进行n-1次
for t = 1:n-1 % 遍历每一次合并操作% 根据所选用的连接方式，找出邻接矩阵中最小或者最大的元素，并且获取对应的两个簇编号i和jif strcmp(method,'single') % 如果是最小距离法[min_val,min_idx] = min(A(:)); % 找出邻接矩阵中的最小值和其索引[i,j] = ind2sub(size(A),min_idx); % 将索引转换为行列坐标，即两个簇编号elseif strcmp(method,'complete') % 如果是最大距离法[max_val,max_idx] = max(A(:)); % 找出邻接矩阵中的最大值和其索引[i,j] = ind2sub(size(A),max_idx); % 将索引转换为行列坐标，即两个簇编号elseif strcmp(method,'average') % 如果是平均距离法A_mean = mean(A,2); % 计算邻接矩阵每一行的平均值[min_val,min_idx] = min(A_mean); % 找出平均值中的最小值和其索引，即一个簇编号i = min_idx; % 将索引赋值给iA_row = A(i,:); % 获取邻接矩阵第i行A_row(i) = inf; % 将第i行第i列的元素设为无穷大，避免干扰[min_val,min_idx] = min(A_row); % 找出第i行中的最小值和其索引，即另一个簇编号j = min_idx; % 将索引赋值给jelseif strcmp(method,'centroid') % 如果是中心距离法X_mean = mean(X,1); % 计算数据集每一列的平均值，即所有对象的中心点X_dist = pdist2(X,X_mean); % 计算每个对象与中心点的距离X_dist = X_dist ./ sum(X_dist); % 归一化距离，使其和为1A_centroid = A .* X_dist; % 计算邻接矩阵与距离的加权乘积，即每个元素乘以对应对象与中心点的距离比例A_centroid_mean = mean(A_centroid,2); % 计算加权邻接矩阵每一行的平均值[min_val,min_idx] = min(A_centroid_mean); % 找出平均值中的最小值和其索引，即一个簇编号i = min_idx; % 将索引赋值给iA_centroid_row = A_centroid(i,:); % 获取加权邻接矩阵第i行A_centroid_row(i) = inf; % 将第i行第i列的元素设为无穷大，避免干扰[min_val,min_idx] = min(A_centroid_row); % 找出第i行中的最小值和其索引，即另一个簇编号j = min_idx; % 将索引赋值给jend% 将对应的两个簇合并成一个新的簇，并且更新邻接矩阵，删除被合并掉的两个簇的行和列，增加新的簇的行和列，计算新的簇与其他簇之间的距离或者相似度C(C==j) = i; % 将编号为j的簇的所有对象的簇编号改为i，即将簇j合并到簇i中A(i,:) = min(A(i,:),A(j,:)); % 将邻接矩阵第i行和第j行取最小值，即使用最小距离法更新簇i与其他簇之间的距离A(:,i) = A(i,:)'; % 将邻接矩阵第i列设为第i行的转置，即保持对称性A(j,:) = []; % 删除邻接矩阵第j行A(:,j) = []; % 删除邻接矩阵第j列% 记录合并操作的信息，更新合并记录矩阵ZZ(t,1) = i; % 记录被合并掉的第一个簇的编号Z(t,2) = j; % 记录被合并掉的第二个簇的编号Z(t,3) = k+1; % 记录合并后产生的新簇的编号，从n+1开始递增k = k+1; % 更新当前存在的簇数，每次合并后加一end% 根据需要划分的簇的个数，从树形结构中切断一条水平线，得到最终的簇划分
n_clusters = 2; % 指定需要划分的簇的个数
T = clusterdata(X,'maxclust',n_clusters,'linkage',method); % 使用matlab自带的clusterdata函数进行层次聚类，指定最大簇数和连接方式，得到每个对象所属的簇编号
scatter(X(:,1),X(:,2),[],T) % 绘制聚类结果的散点图，不同颜色表示预测的簇标签
title('AGNES clustering') % 添加标题% 计算AGNES聚类的调整兰德指数（Adjusted Rand Index），用于评估聚类效果，取值范围是[-1,1]，越接近1表示越好
ari_agnes = adjusted_rand_score(y, T);
fprintf('ARI of AGNES: %.4f\n',ari_agnes);