2.1 二元感知模型
在当前无线传感器网络（WSN）覆盖场景中，最常见且理想的感知模型是二元感知模型[27]。如图2所示， Q 1 Q_1 Q1和 Q 2 Q_2 Q2代表平面区域内的两个随机点。 Q 1 Q_1 Q1位于传感器的检测区域内，其感知概率为1。 Q 2 Q_2 Q2的感知概率为0，因为它位于传感器的检测区域之外。二元感知模型的公式可以表示为：
P ( M i , Q ) = { 1 , d ( M i , Q ) ≤ r 0 , d ( M i , Q ) > r (1) P(M_i, Q) = \begin{cases} 1, & d(M_i, Q) \leq r \\ 0, & d(M_i, Q) > r \end{cases} \tag{1} P(Mi,Q)={1,0,d(Mi,Q)≤rd(Mi,Q)>r(1)
其中， M M M表示监控区域内的传感器节点，所有节点具有相同的感知半径 r r r，节点集表示为 ( M 1 , M 2 , M 3 ⋯ M n ) (M_1, M_2, M_3 \cdots M_n) (M1,M2,M3⋯Mn)。 d ( M , Q ) d(M, Q) d(M,Q)是监控点 Q Q Q与传感器节点 M M M之间的欧几里得距离。 P ( M i , Q ) P(M_i, Q) P(Mi,Q)是传感器节点 M M M检测点 Q Q Q的概率。
2.1.2 传感器节点的二维和三维覆盖模型
无线传感器网络的监控区域被划分为二维矩形区域 E × F E \times F E×F和三维监控区域 E × F × L E \times F \times L E×F×L，其中在监控区域内部署了 n n n个传感器节点。
在二维区域中，传感器节点 M i M_i Mi的位置坐标为 ( X i , Y i ) (X_i, Y_i) (Xi,Yi)，监控节点 Q Q Q的位置坐标为 ( X j , Y j ) (X_j, Y_j) (Xj,Yj)。传感器节点 M i M_i Mi和目标监控点 Q Q Q之间的欧几里得距离定义为：
d ( M i , Q ) = ( X i − X j ) 2 + ( Y i − Y j ) 2 (2) d(M_i, Q) = \sqrt{(X_i - X_j)^2 + (Y_i - Y_j)^2} \tag{2} d(Mi,Q)=(Xi−Xj)2+(Yi−Yj)2(2)
在三维区域中，传感器节点 M i M_i Mi的位置坐标为 ( X i , Y i , Z i ) (X_i, Y_i, Z_i) (Xi,Yi,Zi)，监控节点 Q Q Q的位置坐标为 ( X j , Y j , Z j ) (X_j, Y_j, Z_j) (Xj,Yj,Zj)。传感器节点 M i M_i Mi和目标监控点 Q Q Q之间的欧几里得距离定义为：
d ( M i , Q ) = ( X i − X j ) 2 + ( Y i − Y j ) 2 + ( Z i − Z j ) 2 (3) d(M_i, Q) = \sqrt{(X_i - X_j)^2 + (Y_i - Y_j)^2 + (Z_i - Z_j)^2} \tag{3} d(Mi,Q)=(Xi−Xj)2+(Yi−Yj)2+(Zi−Zj)2(3)
此外，多个节点可以覆盖监控区域内的同一目标点。节点集 M M M检测监控点 Q Q Q的概率由下式给出：
P ( M , Q ) = 1 − ∏ i = 1 n ( 1 − P ( M i , Q ) ) (4) P(M, Q) = 1 - \prod_{i=1}^{n}(1 - P(M_i, Q)) \tag{4} P(M,Q)=1−i=1∏n(1−P(Mi,Q))(4)
覆盖率可以定义为监控区域总面积中所有传感器节点覆盖的比例[28]。因此，在二维WSN环境中的覆盖率表示为：
Cov 2 D = ∑ Q ∈ E × F P ( M , Q ) E × F (5) \text{Cov}_{2D} = \frac{\sum_{Q \in E \times F} P(M, Q)}{E \times F} \tag{5} Cov2D=E×F∑Q∈E×FP(M,Q)(5)
在三维WSN环境中的覆盖率表示为：
Cov 3 D = ∑ Q ∈ E × F × L P ( M , Q ) E × F × L (6) \text{Cov}_{3D} = \frac{\sum_{Q \in E \times F \times L} P(M, Q)}{E \times F \times L} \tag{6} Cov3D=E×F×L∑Q∈E×F×LP(M,Q)(6)
