在 △ A B C \triangle ABC △ABC 中, A B < A C AB < AC AB<AC. P P P, Q Q Q 是直线 A C AC AC 上的两个不同的点, 满足 ∠ P B A = ∠ Q B A = ∠ A C B \angle PBA = \angle QBA = \angle ACB ∠PBA=∠QBA=∠ACB, 且 A A A 在 P P P 与 C C C 之间. 已知在线段 B Q BQ BQ 内存在一点 D D D, 使得 P D = P B PD = PB PD=PB. 延长 A D AD AD 与 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆交于点 R R R. 求证: Q B = Q R QB = QR QB=QR.
证明:
设 ∠ A B Q \angle ABQ ∠ABQ 的角度为 α \alpha α. 延长 B D BD BD 交 ( A B C ) (ABC) (ABC) 于点 F F F, 设 ( B D C ) (BDC) (BDC) 交 B R BR BR 于 B B B, E E E.
P B 2 = P D 2 = P A ⋅ P C PB^2=PD^2=PA\cdot PC PB2=PD2=PA⋅PC. 则 △ P A D ∼ △ P D C \triangle PAD \sim \triangle PDC △PAD∼△PDC.
∠ P D A = ∠ D A C \angle PDA=\angle DAC ∠PDA=∠DAC
∠ E D C = ∠ C R B = ∠ R A C = π − ∠ P A D = π − ∠ P D C \angle EDC=\angle CRB=\angle RAC=\pi-\angle PAD=\pi-\angle PDC ∠EDC=∠CRB=∠RAC=π−∠PAD=π−∠PDC, 所以 P P P, D D D, E E E 共线.
∠ B D E = π − ∠ P D B = π − 2 α = ∠ B C E \angle BDE=\pi-\angle PDB=\pi-2\alpha=\angle BCE ∠BDE=π−∠PDB=π−2α=∠BCE.
∠ F C B = ∠ F C A + ∠ A C B = 2 α = π − ∠ B C E \angle FCB=\angle FCA+ \angle ACB=2\alpha=\pi-\angle BCE ∠FCB=∠FCA+∠ACB=2α=π−∠BCE. 所以 F F F, C C C, E E E 共线.
显然 △ A B Q ∼ △ A C B \triangle ABQ \sim \triangle ACB △ABQ∼△ACB.
∠ A Q B = ∠ A B C = ∠ A R C \angle AQB=\angle ABC=\angle ARC ∠AQB=∠ABC=∠ARC. 所以 Q Q Q, D D D, R R R, C C C 共圆.
∠ Q R B = ∠ Q R D + ∠ A R B = ∠ Q C D + α = ∠ F C D = ∠ Q B R \angle QRB=\angle QRD+\angle ARB=\angle QCD+\alpha=\angle FCD=\angle QBR ∠QRB=∠QRD+∠ARB=∠QCD+α=∠FCD=∠QBR.
所以 Q B = Q R QB=QR QB=QR.
证毕.
2024年1月13日
