群论入门笔记

群的基本定义

群由一组元素 G 和一个运算（常用符号包括 +，x , 或 ∗）组成。

封闭性

对于任意两个元素 x,y∈G，运算 x * y 的结果仍然属于集合 G，即：

∀x,y∈G,x∗y∈G.

结合律

对于任意 a,b,c∈G，群的运算满足结合律：

(a * b) * c = a * (b * c).

单位元

群中存在一个单位元 e∈G，使得对于任意 y∈G：

y * e = e * y = y.

逆元

对于每个 x∈G，存在逆元 x−1∈G，使得：

x∗x−1=e.

群的注意事项

非交换性

一个群 G 不一定是交换的，即运算可能不满足：

x * y = y * x.

例如，在三角形的变换中，旋转 rr 和翻转 ff 的次序可能影响结果：

$r \cdot f \neq f \cdot r$

特殊情况

如果 G 是交换的（即运算满足交换律），称为交换群或阿贝尔群。
如果 G 不满足交换律，则称为非交换群或非阿贝尔群。

什么是子群？

子群是由一个群的子集构成的更小的群。子群本身需要满足群的定义。如果 H 是 G 的子群，我们记作 H≤G。

子群的判定条件

要判断一个集合 H 是否是 G 的子群，需要满足以下条件：

非空子集：H≠∅，子群中至少要包含一个 G 的元素，通常包括单位元 e。
闭合性：如果 a,b∈H，则 a∗b∈H。
逆元存在性：对于 H 中的每个元素 a，其逆元 a−1 也必须属于 H。

子群测试法

一个简便的判定方法是验证：

H≠∅，且
对于所有 a,b∈H，都有 a∗b−1∈H。

子群的例子

平凡子群
每个群 G 至少有两个子群：

{e},G.

真子群
如果 H≠G 且 H≠{e}，则称 H 为真子群。

整数加法群的子群
在整数群 G=(Z,+)中，子群

Hn={nk:k∈Z},

其中 n 是任意正整数。例如：

H2={0,±2,±4,… }.

陪集与子群的指数

如果 H≤G，那么 H 在 G 中的陪集定义为：

gH={g∗h:h∈H}

其中 g∈G。

H 的指数（记作 ∣G:H∣）是 H 在 G 中不同陪集的数量。

什么是Cayley表？

Cayley表（或称群表）是群论中的一个基本工具，用于表示有限群的结构。它是一个方形矩阵，用来直观地展示群的运算。在Cayley表中，群的每个元素在行和列中都有表示，表中第 ii 行和第 jj 列的交点显示了元素 gi 和 gj 经群运算后的结果。

如何构建Cayley表

考虑一个有限群 G，它的元素为 {g1,g2,…,gn}，群的二元运算为 * 。构建该群的Cayley表的步骤如下：

标记行和列
用群的元素 g1,g2,…,gn 标记行和列。
填充表格
对于每一对元素 gi 和 gj，计算它们的积 gi ∗ gj（根据群的运算规则），并将结果填入表格中对应的位置。
对称性
如果群是交换群（即运算是交换的），则Cayley表相对于对角线是对称的。换句话说，对于任意的 gi,gj ∈G，都有： $g_i * g_j = g_j * g_i$

因此表中位置 (i, j) 和 (j, i) 的值相同。

Cayley表的例子

考虑群 Z3={0,1,2}，其运算为模3加法（运算到十进制的“3”回到0，也就是求对3求余数）。这个群的Cayley表如下：

行和列标记为 0,1,2。运算为模3加法，意味着加法结果取模3。

$\begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array}$

表格中第1行第2列的值是 1 + 2 = 0（模3），因此该项为0。类似地，第2行第3列的值是 2 + 2 = 1（模3）。

Cayley表的性质

单位元

群的单位元 e 会出现在Cayley表的对角线上。这是因为对于任意的 gi，都有：

$g_i * e = g_i \quad e * g_i = g_i.$

逆元

每个群元素都有逆元，Cayley表可以用来找到这些逆元。对于元素 gi ，存在元素 gj ，使得：

gi∗gj = e.

交换群

对于交换群（阿贝尔群），Cayley表是对称的。这种对称性反映了对于任意的两个元素 gi 和 gj，都有：

$g_i * g_j = g_j * g_i.$

非交换群

对于非交换群（非阿贝尔群），Cayley表通常不是对称的。表中 $g_i * g_j$ 和 $g_j * g_i$ 的值会不同。

Cayley表的应用

可视化群的结构
Cayley表是一种直观的方式来展示群的结构，尤其是在处理小型有限群时非常有用。它提供了一种快速检查群的封闭性、单位元和逆元的方法。
确定群的性质
通过检查Cayley表，可以快速判断群是否是交换的，找出元素的阶，以及识别子群。
群的分类
Cayley表还可以帮助分类有限群。例如，通过比较不同群的表，可以判断两个群是否同构（即结构上相同）。

总结

群论是数学中一门研究群及其性质的学科，广泛应用于代数、几何、物理学等多个领域。群的基本定义包括封闭性、结合律、单位元和逆元，构成了群的核心特性。群论的研究不仅限于群本身，还包括群的结构、子群、陪集以及群的表示等内容。

通过对群的不同特性的分析，我们可以将群分为交换群和非交换群。交换群满足运算的交换律，而非交换群则不满足交换律。子群是群的一个重要概念，具有独立的群结构，并且可以通过特定的条件来判断一个集合是否为某个群的子群。子群的分析有助于深入理解群的结构和性质。

Cayley表作为群的一个重要工具，能够直观地展示群的运算规则，尤其适用于有限群。通过Cayley表，我们可以清晰地看到群的元素之间的相互关系，以及群是否具有交换性。此外，Cayley表还帮助我们找到单位元和逆元，为群的性质分析提供了便利。

群论不仅在纯数学中占据重要地位，而且在物理学、化学、密码学等领域有着广泛的应用。在物理学中，群论帮助我们理解对称性和守恒定律；在化学中，群论用于研究分子的对称性；在密码学中，群论是加密算法的基础。

总之，群论为我们提供了分析和理解数学结构的强大工具。通过群的理论，我们能够系统地探索代数结构的内在规律，从而为进一步的数学研究和实际应用提供了理论支持。