PCA(Principal Component Analysis,主成分分析)与矩阵X的协方差矩阵之间的联系

devtools/2024/11/23 3:23:29/

在这里插入图片描述

PCA(Principal Component Analysis,主成分分析)是一种常用的降维技术,用于将高维数据集投影到低维空间中。在PCA中,投影方程将原始特征向量 ( x 1 , x 2 , … , x p ) (x_1, x_2, \ldots, x_p) (x1,x2,,xp)映射到新的特征向量 ( y 1 , y 2 , … , y q (y_1, y_2, \ldots, y_q (y1,y2,,yq),其中(q < p)。这些新的特征向量是原始特征向量的线性组合,通过选取使得投影方差最大的方向(主成分)来实现。

现在让我们考虑协方差矩阵 (C)。协方差矩阵 (C) 反映了原始特征向量 (X) 之间的线性关系。在PCA中,我们希望找到一组新的特征向量 (Y),它们是原始特征向量的线性组合,同时使得它们之间的协方差为零,即新特征之间不相关。这意味着,如果 (Y) 是 (X) 的线性变换,那么协方差矩阵 C Y C_Y CY 将是对角矩阵,非对角元素为零。

因此,PCA的目标是找到一组投影方向,使得在这些方向上的投影具有最大的方差,同时这些方向之间是不相关的。这与协方差矩阵的特征向量和特征值的关系密切相关。PCA的投影方向(特征向量)对应于协方差矩阵的特征向量,而投影方差对应于特征值。

总结

矩阵 (X) 的协方差矩阵告诉我们原始特征之间的线性关系和方差信息。而PCA的投影方程告诉我们如何将这些原始特征变换成新的特征,使得它们的方差最大化且彼此之间不相关。这两者的关系在于,PCA的投影方程实际上是在找到使得协方差矩阵中方差最大的特征向量。这些特征向量就是PCA找到的新特征的方向。所以,PCA的投影方程和协方差矩阵的特征向量是密切相关的,因为它们都是为了找到数据中最重要的方差方向。

矩阵 X X X的协方差矩阵与PCA的投影方程之间的关系可以直白地理解为:

协方差矩阵是PCA进行主成分分析的关键工具,它帮助我们找到数据中的主要变化方向(即主成分)。这些主成分实际上就是协方差矩阵的特征向量。

而PCA的投影方程则是利用这些主成分(特征向量)将原始数据投影到新的低维空间中的方法。具体来说,投影方程中的系数(即$u_{ij}$)就是协方差矩阵的特征向量中的元素。这些系数决定了原始数据如何被转换和组合以得到新的低维表示。

因此,可以说协方差矩阵为PCA提供了进行主成分分析的基础,而投影方程则是利用这些主成分将原始数据转换为新的低维表示的具体数学过程。两者共同构成了PCA的核心,使得我们能够从高维数据中提取出主要的信息,并将其表示在更低维的空间中。


http://www.ppmy.cn/devtools/15606.html

相关文章

01年小伙对编程工作的认知

最近招了一个01年的小伙。半个月离职了。 小伙211本科计算机毕业&#xff0c;有写博客的习惯&#xff0c;面聊时感觉一切正常&#xff0c;感觉经验跟能力匹配&#xff0c;也挺符合岗位。 于是迅速入职上岗&#xff0c;开始干活。 但入职后发现不对劲。 频繁请假&#xff0c…

大学生在线考试|基于SprinBoot+vue的在线试题库系统系统(源码+数据库+文档)

大学生在线考试目录 基于SprinBootvue的在线试题库系统系统 一、前言 二、系统设计 三、系统功能设计 试卷管理 试题管理 考试管理 错题本 考试记录 四、数据库设计 五、核心代码 六、论文参考 七、最新计算机毕设选题推荐 八、源码获取&#xff1a; 博主介绍&#…

学习STM32第十九天

PWR电源控制 一、电源系统 STM32F4xx电源供电结构框图如下 电压管理器&#xff08;Voltage Regulator&#xff09;共有三种模式 run mode 此模式下&#xff0c;电压管理去稳定向核心、内存和外设提供1.2V电压&#xff0c;输出电压可由软件变换。stop mode 此模式下&#xf…

盲人出行挑战与曙光:“盲人视觉辅助技术研发”助力无障碍生活

作为一名资深记者&#xff0c;我深感盲人朋友们在日常出行中面临的种种困难。然而&#xff0c;在科技日新月异的今天&#xff0c;一项名为蝙蝠避障的专为盲人视觉辅助技术研发的领域正在以前沿科技成果&#xff0c;为改善盲人出行困境带来希望之光。本文将深入探讨这一技术如何…

DHCP和代理IP的区别

一、什么是DHCP DHCP&#xff08;Dynamic Host Configuration Protocol&#xff09;&#xff0c;即动态主机配置协议&#xff0c;是一种网络协议&#xff0c;用于使网络中的主机能够动态地从DHCP服务器获取网络配置参数&#xff0c;如IP地址、子网掩码、默认网关以及DNS服务器…

医疗器械模拟运输验证注册标准ASTM D4169-23

ASTM D4169 是一种实践&#xff0c;它为在实验室中评估运输单元承受运输环境的能力提供了统一的基础。为此&#xff0c;负载会受到在各种分配周期中可能出现的特定危险的影响&#xff0c;以便了解它们在面对特定情况时的行为并因此纠正潜在问题。 2023 年&#xff0c;ASTM D41…

学习笔记-微服务高级(黑马程序员)

Sentinel 测试软件 jmeter 雪崩问题 个微服务往往依赖于多个其它微服务,服务提供者I发生了故障&#xff0c;依赖于当前服务的其它服务随着时间的推移形成级联失败 超时处理 设定超时时间&#xff0c;请求超过一定时间没有响应就返回错误信息 仓壁模式 限定每个业务能使用的线…

Spring - 1 ( 8000 字 Spring 入门级教程)

一&#xff1a;SpringBoot 快速上手 环境准备 ⾃检Idea版本: 社区版: 2021.1 -2022.1.4专业版: ⽆要求 如果个⼈电脑安装的idea不在这个范围, 需要卸载重新安装.&#xff08;⼀定要删除注册表&#xff09; Maven Maven是⼀个项⽬管理⼯具。基于POM(Project Object Model,…