神经网络|(五)概率论基础知识-条件概率

【1】引言

前序完成了古典概型知识的简单学习，今天在此基础上开始条件概率的学习。古典概型的学习文章为：神经网络|(四)概率论基础知识-古典概型-CSDN博客

【2】条件概率

条件概率就是在A事件已经发生的条件下，B事件发生的概率。

设A、B是两个事件，且P(A)>0，A事件发生的条件下B事件发生的条件概率为：

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

上式很容易推出新表达式： $P(AB)=P(B|A)P(A)$

【3】应用讨论

实际上，如果给我们一个实例，我们会陷入的困境是：在某条件已经达成的前提下，究竟是按照P(B/A)还是按照P(AB)计算。

P(B/A)明确说了是事件A发生的条件下事件B再发生的概率，综合变表现的效果是事件A和B都发生；

而P(AB)就直接代表AB两个事件都发生了。

这样看，P(B/A)和P(AB)直接表现效果好像是一样的，所以具体该如何选择？

【3.1】古典概型

首先给古典概型的示例：投币游戏，任何一次投币正面朝上的概率都是1/2，问：前两次投币正面朝上，但第三次投币反面朝上的概率？

其实三次投币的所有可能情况都可以直接列出来：

【正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反】

很显然，正正反的概率是1/8。

实际上我们自己算出1/8也非常容易，因为每一次投币的正面朝上和反面朝上的概率都是1/2，并且每一步的结果互相独立、互不影响，所以应该让每一次投币的概率直接相乘：

P(正正反)=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8。

从另一个角度，第三次投币为反面是在前两次投币为正面的条件下发生的，正正反的总投币结果影应该是条件概率：

P(反|正正）=P(正正反）/P(正正)=(1/8)/(1/4)=1/2

其中，P(正正)代表前两次投币结果都是正面的概率，P(正正)=(1/2)/(1/2)=1/4。

P(反|正正）=1/2，本质上代表的是第三次投币，也就是单次投币为反面的概率。虽然有前两次投币为正面的条件，但这是个古典概型下的投币试验，和前面的任何效果都没有关系。

这启发我们，古典概型下，计算某前提条件下的条件概率，实际上是回到了单次试验发生的概率，它的结果是单次试验的概率，不是在获得前提条件下的多次试验后再加上最后这次试验的综合概率。

【3.2】古典概型进阶

再给一个示例：玩投壶游戏，投中才可进下一轮。假如第一次投中的概率是0.5，但如果第一次投中后，会移远壶的距离，此时投中的概率变成0.3，如果第二次再投中。会再次移远壶的距离，这时的投中概率变成0.1。问，前两次投中，第三次没有投中的概率？

这时候我们按照传统的思路来分析，记Ai为第i次投壶投中，则前两次投中，第三次没有投中的概率可以这样想：

A1代表第一次投中，A1A2代表两次投中，这两次投中是一步接一步，且第一次投中不会改变第二次投中的概率，因为题目中已经约定好了第二次投中的概率是0.3 ；

但在另一个角度，只有在第一次投中的条件下，第二次投壶游戏才可能发生。

这时候，不妨写出来：

$P(A2|A1)=\frac{{P(A1A2))}}{P(A1))}=\frac{0.5\times 0.3}{0.5}=0.3$

这个计算结果回到了第二次投壶自带的概率，所以它是0.3。

然后我们再看这个模型，其实它就是稍微复杂的古典模型，每一事件发生的概率是提前预知的，在这个事件之前的所有事件，都和这个概率没有关系。

条件概率只是该事件单独发生的概率。

【3.3】综合分析

所以，在某条件已经达成的前提下，新事件发生的概率，其实是计算综合概率，比如A已经发生时，B发生的概率，其实计算的目标是P(AB)。

【4】细节说明

前述分析中，使用了三个事件来说明实际应用中应该计算综合概率，中间未分析第一个事件发生条件下第二个事件发生的概率，其实就是再往回走一步，省略是因为分析第三步和第二步没有本质区别。

古典概型是理解条件概率分析的基础，上述条件概率求取的过程中，给出了不同步骤时不同的概率，实际上就是将不同的古典概型结合在一起，但在本质上还是古典概型，所以使用古典概型来分析非常实用。

【5】总结

回顾了条件概率的基础知识。