【TDA】mapper

https://giotto-ai.github.io/gtda-docs/latest/notebooks/tmp/mapper_quickstart.html?highlight=mapper
https://giotto-ai.github.io/gtda-docs/latest/modules/mapper.html?highlight=mapper
https://www.quantmetry.com/blog/topological-data-analysis-with-mapper/
https://research.math.osu.edu/tgda/mapperPBG.pdf 由这篇文章提出

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给定一个点的数据集，Mapper 背后的基本步骤如下：

使用滤波函数 f 或透镜将其映射到低维空间。常见的滤波函数选择包括通过 PCA 或基于密度的方法投影到一个或多个轴上。
构建投影空间的覆盖 $(U_i)_{i\in I}$ ，通常采用具有恒定长度的重叠区间集的形式。
对于每个区间 $U_i$ ，在原像 $f^{-1}(U_i)$ 中对点进行聚类，形成集合 $C_{i,1},\ldots,C_{i,k_i}$ 。
构建一个图，其顶点是聚类集合，如果两个聚类有一些共同的点，则两个顶点之间存在一条边。

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数据由二维黑色点表示（在左侧），这里的滤波函数简单地是一个高度函数（投影到 y 轴上），四个区间组成了投影空间的覆盖；在拉回这些区间后，即取滤波函数的原像（即左边的图的点），我们以最近邻的方式对每个原像进行聚类。生成的 Mapper 图在右侧描绘。

透镜（lens）, 覆盖（cover）和聚类算法都可以灵活的进行选择。

透镜（lens）的选择非常重要，因为输出图将明显依赖于这个选择。根据您正在分析的数据集类型，可以应用最有意义的透镜。例如，对于异常值检测，应用一个lens，将其投影到与 L2 范数或第一个 PCA 组件相结合的isolation forest score是有意义的。
- 在一维情况下，可以选择一些高度函数（如上图所示）、偏心率或中心性。
- 在更多维度的情况下，典型的选择是标准的降维算法，如 PCA、Isomap、MDS、t-SNE 或 UMAP。在生物应用中，通常使用基于密度的方法，例如距离第一个 k 近邻的距离。通过投影到变分自编码器产生的某个潜在空间，可以实现更微妙的结果。
覆盖，一个标准选择是一组 d 维区间（即 d 个一维区间的笛卡尔积），这些区间具有相同的长度，并且以指定的百分比成对重叠。这是另一个关键参数，因为重叠将决定 Mapper 图中的边的创建。
聚类技术。DBSCAN或层次聚类。全局选择聚类数量作为超参数可能很棘手：聚类应用于由覆盖元素的拉回产生的每组点，因此可能有不同的聚类数量需要选择。一种解决方案是根据规则停止凝聚聚类，例如，在树状图中发现足够大的间隙的第一个实例。

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# Data wrangling
import numpy as np
import pandas as pd  # Not a requirement of giotto-tda, but is compatible with the gtda.mapper module# Data viz
from gtda.plotting import plot_point_cloud# TDA magic
from gtda.mapper import (CubicalCover,make_mapper_pipeline,Projection,plot_static_mapper_graph,plot_interactive_mapper_graph
)# ML tools
from sklearn import datasets
from sklearn.cluster import DBSCAN
from sklearn.decomposition import PCAdata, _ = datasets.make_circles(n_samples=5000, noise=0.05, factor=0.3, random_state=42)
plot_point_cloud(data)# Define filter function – can be any scikit-learn transformer
filter_func = Projection(columns=[0, 1])
# Define cover
cover = CubicalCover(n_intervals=10, overlap_frac=0.3)
# Choose clustering algorithm – default is DBSCAN
clusterer = DBSCAN()# Configure parallelism of clustering step
n_jobs = 1# Initialise pipeline
pipe = make_mapper_pipeline(filter_func=filter_func,cover=cover,clusterer=clusterer,verbose=False,n_jobs=n_jobs,
)fig = plot_static_mapper_graph(pipe, data)
fig.show(config={'scrollZoom': True})